ANPEC 2008 - Q1

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ANPEC 2008 - Q1

Mensagem por temujin em Qua Abr 10, 2013 11:21 am

Sejam a função dada por . Julgue as afirmativas:


(0) f não é uma função injetora.

F. f'(x) = 3x2+3 > 0, para qualquer valor de x.


(1)

F.




(2) f(a-b)=a3-3a2b+3ab2+3(a-b)-4=0

V. Sabemos que ab=1 e b3-a3=-4. Agora, a primeira igualdade é satisfeita, pois:
f(a-b) = (a-b)3+3(a-b)-4. E expandindo este termo, temos que f(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3+3a-3b-4

Rearranjando os termos e substituindo os valores de ab, a3 e b3:

f(a-b)=-(b3-a3)-3a.ab+3ab.b+3a-3b-4 = 4-3a+3b+3a-3b-4 = 0



(3) f é uma função injetora e a-b=1

V. Pelo item (0) sabemos que f é injetora. Podemos então testar valores para saber se a-b=1. f(a-b)=f(1)=13+3.1-4 = 0.


(4) f é convexa no intervalo I = [-2;2].

F. f'(x)=3x2+3, f''(x) = 6x. Para x < 0, f é côncava.
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temujin

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