ANPEC 2004 - Q7

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ANPEC 2004 - Q7

Mensagem por temujin em Sex Abr 12, 2013 4:47 pm

(0) Seja uma função estritamente côncava e duas vezes continuamente diferenciável. Se a < b, então f'(a) > f'(b).

V. O gabarito diz que é F. Mas se f é estritamente côncava, então f''(x) < 0. Logo, f'(a) tem de ser maior que f'(b) para qualquer a < b.


(1) Seja uma função duas vezes continuamente diferenciável tal que existem a < b com f'(a) = f'(b) = 0 e f(a) = f(b) = 1. Se existe c tal que a < c < b e f(c)=0, então existe d tal que a < d < c e f''(d) = 0.

F. Por exemplo:



f(a) = f(b) = 1, f'(a) = f'(b) = 0 e f(c) = 0, mas f não tem nenhum ponto de inflexão entre a e c.



(2) Seja uma função estritamente convexa tal que f(0)=0. Então, 2f(1/2) < f(1).

V. f é estritamente convexa se, e somente se, f(tx1+(1-t)x2) < tf(x1)+(1-t)f(x2). Seja t=0,5, x1=1 e x2=0. Então, f(0,5.1+0,5.0) < 0,5f(1)+0,5f(0) --> f(0,5) < 0,5f(1) --> 2f(0,5) < f(1).



(3) Seja uma função contínua tal que, para qualquer x, . Então f atinge um mínimo em x=0.

F. Por exemplo, f(x)=|-x4+1|. f(1)=0, f(-1)= 0, mas f(0)=1.


(4) Seja uma função estritamente côncava tal que f(0) < f(1). Então f é estritamente crescente no intervalo [0;1].

F.

f(x)= -x2+1,1x
f(0) = 0, f(1) = 0,1, mas f'(x) =-2x+1,1 < 0, x > 0,55



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