ANPEC 2010 - Q3

por temujin Sáb Abr 13, 2013 10:33 am

Sejam $\small f:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}, g:[-\sqrt{5};\sqrt{5}] \rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $\small f(x)= ln(x) \ e \ g(x)=x.\sqrt{5-x^2}$ . Julgue as afirmativas:

(0) $\small \int_1^e f(x) \ dx=\frac{1}{e}$ .

F.

$\small \int_1^e f(x) \ dx= \left [ xln(x)-x \right ]_1^e=[e-e]-[ln(1)-1]=1$

(1) $\small \int \frac{x}{x^2+7} \ dx=\frac{f(x^2+7)}{2}+c$ , em que c é uma constante arbitrária.

V.

$\small F(x)=\frac{ln(x^2+7)+c}{2} \ \ ; \ \ F'(x)=\frac{2x}{2}.\frac{1}{x^2+7}=\frac{x}{x^2+7}$

(2) A área delimitada pelo gráfico de g, o eixo x e as retas verticais x=-1 e x=2 é 7/3.

F. Por substituição:

u=5-x², du=-2xdx, xdx=-du/2

Assim, x=0 -> u=5, x=2 -> u=1

$\small \\ \int_0^2x\sqrt{5-x^2} \ dx=-\frac{1}{2}.\int_5^1 \sqrt{u} \ du=-\frac{1}{2}\left [ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right ]_5^1=-\frac{1}{3}\left [ (5-x^2)^{3/2} \right ]_0^2=\\ \\ -\frac{1}{3}[1-5^{3/2}]=\frac{5\sqrt{5}-1}{3}$

Mas, $\small \\ \frac{5\sqrt{5}-1}{3} > \frac{5\sqrt{4}-1}{3} \Rightarrow \frac{5\sqrt{5}-1}{3}>\frac{5.2-1}{3} \Rightarrow \frac{5\sqrt{5}-1}{3} > \frac{9}{3}$

(3) $\small \int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \dx = 2$

V.

$\small \int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \dx = \int_1^\infty x^{-3/2} \ dx=\left [ \frac{x^{-1/2}}{-1/2} \right ]=-2.\left [ x^{-1/2} \right ]_1^\infty=-2.0 -(-2).1=2$

(4) Se $\small \int_a^b h(x) \ dx>0$ , então $\small h(x) \geq 0, \forall \ x \in [a;b]$ .

F. h(x) pode até ser negativa para algum intervalo I contido em [a;b], desde que seja positiva no complementar de I e que a área de I seja menor que a área de seu complementar.