ANPEC 2006 - Q5

por temujin em Sab Abr 13, 2013 1:21 pm

(0) $\small \int_{-\pi}^\pi sen(x) \ dx = 2\int_{0}^\pi sen(x) \ dx$

F. função ímpar, intervalo simétrico, a integral é 0. (seria verdadeiro para cos(x) que é par).

(1) Se f'(x) < 0, para todo x pertencente a [0;1], então $\small \int_0^1 f(x)\ dx < 0$ .

F.

Por exemplo, f(x) = -x+k, f'(x) = -1, para todo x.

$\small \int_0^1 -x+k\ dx = \left [ -\frac{x^2}{2}+kx \right ]_0^1 = \frac{-1}{2}+k>0 \Rightarrow k>\frac{1}{2}$

(2) $\small \int_1^e x.log(x) \ dx < \int_1^e x \ dx$

V. Para $\small 1 \leq x \leq e \Rightarrow ln(x)<1 \therefore x.ln(x)<x$

(3) $\small \frac{d}{dx}e^{\int_1^x \frac{1}{t}dt} > \frac{1}{x}e^{\int_1^x \frac{1}{t}dt}$ , para todo x > 1.

F.

$\small \int_1^x \frac{1}{t}dt = \left [ ln(t) \right ]_1^x = ln(x)-ln(1)=ln(x)$

$\small \\ \frac{d}{dx}e^{\int_1^x \frac{1}{t}dt} = \frac{d}{dx}e^{ln(x)}=\frac{d}{dx}x=1\\ \\ \frac{1}{x}e^{\int_1^x \frac{1}{t}dt}=\frac{1}{x}e^{ln(x)}=\frac{1}{x}x=1$

(4) Considere uma função contínua f e defina os conjuntos $\small A=\left \{ x\in[0;1]:f(x) \geq 0 \right \}, B=\left \{ x\in[0;1]:f(x) < 0 \right \}$ . Então, $\small \int_0^1f(x) \ dx < \int_{x \in A} f(x) \ dx+\int_{x \in B} |f(x)| \ dx, \ \ B \neq \varnothing$ .

V. $\small \int_0^1f(x) \ dx = \int_{x \in A} f(x) \ dx+\int_{x \in B} f(x) \ dx$

Como B é não vazio, $\small \int_{x \in B} |f(x)| \ dx > \int_{x \in B} f(x) \ dx$ .

E assim,

$\small \int_0^1f(x) \ dx < \int_{x \in A} f(x) \ dx+\int_{x \in B} |f(x)| \ dx$