ANPEC 2013 - Q5

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ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por temujin em Dom Mar 17, 2013 3:29 pm

(0) Se , então A + B = 1.
V. Aplicando L'Hospital, temos:

No caso de B, temos uma função limitada (sen x) didivida por uma função estritamente crescente (x). Logo,


(1) A função f(x) = x4-2x3+18x2-20x+7 não possui pontos de inflexão.
V. f'(x) = 4x3-6x2+36x-20 e f''(x) = 12x2-12x+36, que não tem raízes reais.

(2) Definimos [x] como o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Então, a função f(x) = [x]x2 não é derivável em x=0.
F. Uma função é derivável se a derivada existe e é contínua. Assim, f'(x) = 2[x]x e . Então a derivada existe e é contínua.

(3) Se f'(a) = 5, então .
scratch

(4) A soma das coordenadas do ponto na curva y=x2, cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.
scratch
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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por temujin em Qua Maio 29, 2013 5:29 pm

(3) F.



Como h tende a zero,
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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por Vagner em Qua Jun 26, 2013 8:11 pm

Não consegui entender a resolução do item 3, você recomenda algum livro que explique isso.

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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por temujin em Qua Jun 26, 2013 8:26 pm

Eu não conheço nenhum com algo parecido...Mas qual é exatamente a sua dúvida? O que eu fiz aqui, basicamente, foi aplicar algumas transformações algébricas pra chegar na definição da derivada. Qual a passagem que vc não entendeu?

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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por Vagner em Qua Jun 26, 2013 8:33 pm

Justamente essas transformações algébricas.

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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por temujin em Qua Jun 26, 2013 10:02 pm

Ok, vou tentar detalhar. Na primeira passagem, o que eu fiz foi dividir numerador e denominador por 5, portanto a proporção não muda. (é o mesmo que multiplicar por 1, certo?)



Agora, se eu subtrair f(a) e somar f(a), é o mesmo que somar zero. Portanto eu posso fazer:



Como temos uma subtração no limite, posso separar como a subtração de dois limites:



Podemos juntar de novo e colocar em evidência 1/5 no numerador:



Veja que no segundo termo do numerador, o sinal de - passou para o 5h, portanto, não muda nada, certo? Pela definição de derivada, os dois termos do numerador são exatamente a derivada de f(a), multiplicadas por 1/5:



Olhando agora para denominador, podemos escrever f(a+3h) como f(a-2h+5h), certo? Assim:



Aplicando de novo a definição de derivada, vemos que o denominador é a derivada de f(a-2h). Logo,



Como h tende a zero, ficamos com:



O enunciado diz que f'(a) é igual a 5, portanto:




Basicamente, foi só isto Laughing

Qualquer coisa, pode perguntar.
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Re: ANPEC 2013 - Q5

Mensagem por temujin em Seg Jul 15, 2013 5:53 pm

Finalmente, saiu este item (4) geek !!

Vamos lá: A reta que passa por (14,1) só pode cortar a parábola em dois pontos distintos. Supondo que o item seja verdadeiro, então deve valer que a soma das coordenadas é 6:



Que tem raízes 2 e -3.

Se x=2, y=4 e um vetor diretor que passa pelos pontos (2,4) e (14,1) é .

Se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser perpendicular a um vetor diretor da reta tangente neste ponto. Então, derivando:



Então, a reta tangente deve ter a forma y=4x+b. Substituindo os valores do ponto (2,4) temos que:



Logo, um vetor diretor da reta tangente é .

E os vetores u e v são perpendiculares, pois seu produto escalar é nulo:

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Re: ANPEC 2013 - Q5

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