ANPEC 2013 - Q5
2 participantes
Anpec 2014 :: MATEMÁTICA :: Questões ANPEC :: Prova 2013
Página 1 de 1
ANPEC 2013 - Q5
(0) Se , então A + B = 1.
V. Aplicando L'Hospital, temos:
No caso de B, temos uma função limitada (sen x) didivida por uma função estritamente crescente (x). Logo,
(1) A função f(x) = x4-2x3+18x2-20x+7 não possui pontos de inflexão.
V. f'(x) = 4x3-6x2+36x-20 e f''(x) = 12x2-12x+36, que não tem raízes reais.
(2) Definimos [x] como o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Então, a função f(x) = [x]x2 não é derivável em x=0.
F. Uma função é derivável se a derivada existe e é contínua. Assim, f'(x) = 2[x]x e . Então a derivada existe e é contínua.
(3) Se f'(a) = 5, então .
(4) A soma das coordenadas do ponto na curva y=x2, cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.
V. Aplicando L'Hospital, temos:
No caso de B, temos uma função limitada (sen x) didivida por uma função estritamente crescente (x). Logo,
(1) A função f(x) = x4-2x3+18x2-20x+7 não possui pontos de inflexão.
V. f'(x) = 4x3-6x2+36x-20 e f''(x) = 12x2-12x+36, que não tem raízes reais.
(2) Definimos [x] como o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Então, a função f(x) = [x]x2 não é derivável em x=0.
F. Uma função é derivável se a derivada existe e é contínua. Assim, f'(x) = 2[x]x e . Então a derivada existe e é contínua.
(3) Se f'(a) = 5, então .
(4) A soma das coordenadas do ponto na curva y=x2, cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
Não consegui entender a resolução do item 3, você recomenda algum livro que explique isso.
Vagner- Mensagens : 4
Data de inscrição : 08/05/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
Eu não conheço nenhum com algo parecido...Mas qual é exatamente a sua dúvida? O que eu fiz aqui, basicamente, foi aplicar algumas transformações algébricas pra chegar na definição da derivada. Qual a passagem que vc não entendeu?
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
Justamente essas transformações algébricas.
Vagner- Mensagens : 4
Data de inscrição : 08/05/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
Ok, vou tentar detalhar. Na primeira passagem, o que eu fiz foi dividir numerador e denominador por 5, portanto a proporção não muda. (é o mesmo que multiplicar por 1, certo?)
Agora, se eu subtrair f(a) e somar f(a), é o mesmo que somar zero. Portanto eu posso fazer:
Como temos uma subtração no limite, posso separar como a subtração de dois limites:
Podemos juntar de novo e colocar em evidência 1/5 no numerador:
Veja que no segundo termo do numerador, o sinal de - passou para o 5h, portanto, não muda nada, certo? Pela definição de derivada, os dois termos do numerador são exatamente a derivada de f(a), multiplicadas por 1/5:
Olhando agora para denominador, podemos escrever f(a+3h) como f(a-2h+5h), certo? Assim:
Aplicando de novo a definição de derivada, vemos que o denominador é a derivada de f(a-2h). Logo,
Como h tende a zero, ficamos com:
O enunciado diz que f'(a) é igual a 5, portanto:
Basicamente, foi só isto
Qualquer coisa, pode perguntar.
Agora, se eu subtrair f(a) e somar f(a), é o mesmo que somar zero. Portanto eu posso fazer:
Como temos uma subtração no limite, posso separar como a subtração de dois limites:
Podemos juntar de novo e colocar em evidência 1/5 no numerador:
Veja que no segundo termo do numerador, o sinal de - passou para o 5h, portanto, não muda nada, certo? Pela definição de derivada, os dois termos do numerador são exatamente a derivada de f(a), multiplicadas por 1/5:
Olhando agora para denominador, podemos escrever f(a+3h) como f(a-2h+5h), certo? Assim:
Aplicando de novo a definição de derivada, vemos que o denominador é a derivada de f(a-2h). Logo,
Como h tende a zero, ficamos com:
O enunciado diz que f'(a) é igual a 5, portanto:
Basicamente, foi só isto
Qualquer coisa, pode perguntar.
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
Finalmente, saiu este item (4) !!
Vamos lá: A reta que passa por (14,1) só pode cortar a parábola em dois pontos distintos. Supondo que o item seja verdadeiro, então deve valer que a soma das coordenadas é 6:
Que tem raízes 2 e -3.
Se x=2, y=4 e um vetor diretor que passa pelos pontos (2,4) e (14,1) é .
Se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser perpendicular a um vetor diretor da reta tangente neste ponto. Então, derivando:
Então, a reta tangente deve ter a forma y=4x+b. Substituindo os valores do ponto (2,4) temos que:
Logo, um vetor diretor da reta tangente é .
E os vetores u e v são perpendiculares, pois seu produto escalar é nulo:
Vamos lá: A reta que passa por (14,1) só pode cortar a parábola em dois pontos distintos. Supondo que o item seja verdadeiro, então deve valer que a soma das coordenadas é 6:
Que tem raízes 2 e -3.
Se x=2, y=4 e um vetor diretor que passa pelos pontos (2,4) e (14,1) é .
Se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser perpendicular a um vetor diretor da reta tangente neste ponto. Então, derivando:
Então, a reta tangente deve ter a forma y=4x+b. Substituindo os valores do ponto (2,4) temos que:
Logo, um vetor diretor da reta tangente é .
E os vetores u e v são perpendiculares, pois seu produto escalar é nulo:
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Anpec 2014 :: MATEMÁTICA :: Questões ANPEC :: Prova 2013
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|