ANPEC 2013 - Q7

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ANPEC 2013 - Q7

Mensagem por temujin em Dom Mar 17, 2013 4:17 pm

Considere a transformação linear definida por T(x,y)=(x+y,x-ay), . Denote por A a matriz que representa T na base canônica de R2. Julgue as afirmativas:

(0) A matriz associada à transformação T é não singular para a=-1.
F.
Portanto, A é singular.


(1) Se a=-1, o núcleo de T é um subespaço de dimensão 1.
V. Se a=-1, o posto de A é 1. Como o domínio tem dimensão 2, o núcleo tem dimensão 1.

(2) O sistema Ax=c sempre tem solução para a=1 e c qualquer vetor de R2.
V. Se a=1, o determinante de A é não nulo, portanto o sistema é SPD.

(3) O núcleo e a imagem de T são subespaços cujas dimensões são maiores do que 2.
F. T é um operador linear, de R2 em R2. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, a soma das dimensões do núcleo e da imagem é a dimensão do domínio que, no caso, é 2.

(4) Para qualquer valor de a o sistema homogêneo Ax=0 tem solução nula.
V. Um sistema homogêneo sempre tem, pelo menos, a solução nula.
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temujin

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