ANPEC 2013 - Q10

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ANPEC 2013 - Q10

Mensagem por temujin em Dom Mar 17, 2013 5:38 pm

Considere a matriz . Julgue as afirmativas:

(0) O número de autovalores distintos da matriz A é igual à ordem da matriz A.
F.




Então, são dois autovalores distintos, mas a ordem da matriz é 3.

(1) A dimensão do subespaço associado ao maior autovalor é 1.
F. A dimensão do autoespaço associado a um autovalor é a multiplicidade geométrica. O maior autovalor é 0. O autovetor associado é dado por:


Seja x=z e y qualquer, podemos escrever :



Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.


(2) A dimensão do subespaço associado ao menor autovalor é 1.
V. O menor autovalor é -2. Como a multiplicidade algébrica é 1, a multiplicidade geométrica é no máximo 1.

(3) Os autovetores de A, v1 = (0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(-1,3,1) formam uma base de R3.
V. Testando o vetor v3 como autovetor, temos:


Portanto, v3 é o autovetor associado ao autovalor -2. Os outros já foram calculados no item (1).


(4) A matriz A é diagonalizável.
V. A soma das multiplicidades algébricas é igual a soma das multiplicidades geométricas, portanto, A é diagonalizável.
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temujin

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