ANPEC 2012 - Q15

por temujin em Seg Ago 05, 2013 4:32 pm

Suponha que o número de vezes durante um ano que um indivíduo pega uma gripe seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson com esperança igual a 4. Adicionalmente, suponha que uma nova droga baseada na vitamina C reduza a esperança para 2, para 80% da população (e que a variável aleatória ainda siga uma distribuição de Poisson), mas que não tenha nenhum efeito para os 20% restantes.

Julgue as seguintes afirmativas:

(0) A probabilidade de um indivíduo que toma a nova droga, e é parte da população que se beneficia dela, pegar duas gripes em um ano é 8e^-4.

F. Numa Poisson a probabilidade de X assumir um valor k qualquer é dada por: $P(X=k) = \frac{\lambda^k.e^{-\lambda}}{k!}$ . Portanto,

$\\ \lambda = 2 \ \ \ P(X = 2) = \frac{2^2.e^{-2}}{2!} = 2e^{-2}$

(1) A probabilidade de um indivíduo que não se beneficia da nova droga pegar duas gripes em um ano é 2e^-2.

F.

$\\ \lambda = 4 \ \ \ P(X = 2) = \frac{4^2.e^{-4}}{2!} = 8e^{-4}$

(2) A probabilidade de um indivíduo que não se beneficia da nova droga pegar no máximo duas gripes em um ano é 13e^-4.

V. Se o indivíduo pega no máximo duas, ele pode pegar 0, 1 ou 2. Então, somamos as três:

$\\ \lambda = 4 \\ \\ P(X = 0) = \frac{4^0.e^{-4}}{0!} = e^{-4} \\ \\ P(X = 1) = \frac{4^1.e^{-4}}{1!} = 4e^{-4} \\ \\ P(X = 2) = \frac{4^2.e^{-4}}{2!} = 8e^{-4} \\ \\ e^{-4}(8+4+1) = 13e^{-4}$

(3) A probabilidade de um indivíduo que toma a nova droga, selecionado aleatoriamente na população, pegar duas gripes em um ano é 1,6(e^-2+e^-4).

V. As probabilidades para cada grupo já foram calculadas nos itens anteriores. Basta ponderar cada uma por sua respectiva participação na população:

$P(X=2) = 0,8(2e^{-2})+0,2(8e^{-4})=1,6e^{-2}+1,6e^{-4} = 1,6(e^{-2}+e^{-4})$

(4) Suponha que um indivíduo escolhido aleatoriamente na população tenha pego duas gripes durante um ano em que ele tomou a nova droga. A probabilidade de ele fazer parte da parcela que se beneficia da nova droga é (1 + e^-4)^-1.

F.

$P(\lambda = 2)=\frac{0,8(2e^{-2})}{1,6(e^{-2}+e^{-4})} = \frac{e^{-2}}{e^{-2}+e^{-4}} = \frac{e^{-2}}{e^{-2}(1+e^{-2})} = \frac{1}{1+e^{-2}}$