ANPEC 2003 - Q3

por temujin Ter Ago 06, 2013 1:05 pm

O custo X de produção de certo bem é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade

$f(x)=\left\{\begin{matrix} kx^2, 1\leq x \leq 4\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

É correto afirmar que:

(0) O valor de k é 63;

F. Para ser uma densidade, a áre sob f(x) deve ser igual a 1. Assim:

$\int_1^4 kx^2 \ dx = \left k\frac{x^3}{3} \right |_1^4 = k\left [\frac{64}{3}-\frac{1}{3} \right ] \Rightarrow k\frac{63}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{63} = \frac{1}{21}$

(1) O custo médio do produto é aproximadamente 1,04;

F.

$E(X) = \int_1^4 \frac{1}{21}x^3 \ dx = \frac{1}{21} \left [ \frac{x^4}{4} \right ]_1^4 = \frac{1}{21}.\left [ \frac{256}{4}-\frac{1}{4} \right ] = \frac{255}{84} \approx 3,03$

(2) O custo é menor do que 2 com probabilidade 1/9;

V. Basta integrar a fdp de 1 a 2:

$\int_1^2 \frac{1}{21}x^2 \ dx = \frac{1}{21} \left [ \frac{x^3}{3} \right ]_1^2 = \frac{1}{21}.\left [ \frac{8}{3}-\frac{1}{3} \right ] = \frac{7}{63} =\frac{1}{9}$

(3) A variância do custo do produto é aproximadamente 3,04;

F. A variância é dada por Var(X) = E(X²) - [E(X)]²:

$\\ E(X^2) = \int_1^4 \frac{1}{21}x^4 \ dx = \frac{1}{21}\left [ \frac{x^5}{5} \right ]_1^4 = \frac{1}{21}.\left [ \frac{1024}{5}-\frac{1}{5} \right ] = \frac{1023}{105} \approx 9,74 \\ \\ Var(x) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 9,74-3,03^2 \approx 0,56$

(4) O custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9.

F. Pelo item 2, $P(x) \leq 2 = \frac{1}{9} \Rightarrow P(x) > 2=\frac{8}{9}$

Logo, o custo será maior que 3 com uma probabilidade certamente menor do que 8/9.