ANPEC 1996 - Q5

por temujin em Ter Ago 06, 2013 3:57 pm

Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x).

(0) Se $f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{3}{2}x^2, -1 \leq x \leq 1\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$ , então E(X) = 0.

V. A esperança de X é dada por:

$E(X) = \int_{-1}^1 \frac{2}{3}x^3dx$

que é uma função ímpar, definida num intervalo simétrico e, portanto, igual a 0.

(1) Se $f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{(1+x)^2}, x>0\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$ então $E(X)=\infty$ .

V. Integrando por frações parciais:

$\\ E(X)=\int_0^\infty \frac{x}{(1+x)^2}dx = \int_0^\infty \left ( -\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)} \right )dx = \\ \\ =-\int_0^\infty \frac{1}{(1+x)^2}dx \ +\int_0^\infty \frac{1}{(1+x)}dx = \left [\frac{1}{(1+x)}+ln(1+x) \right ]_0^\infty = \infty$

(2) Se X ~ U[a,b] é uniforme em [a,b], onde a < b, então: $f(x)=\left\{\begin{matrix} x, a \leq x \leq b\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$ .

F. f(x) = 1/(b-a)

(3) Se $f(\mu+x)=f(\mu-x), \forall x \in \mathbb{R}$ , onde $\mu \in \mathbb{R}$ é fixo, então $P(X \geq \mu+x)=P(X \leq \mu-x), \forall x \in \mathbb{R}$ .

V. f é simétrica.