ANPEC 2007 - Q14

por temujin Qua Ago 07, 2013 3:10 pm

No começo do dia uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório Y de líquido (medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é descartado pela máquina. Como a máquina não é carregada, X ≤ Y. A distribuição conjunta de X e Y é:

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq y ,\ 0<y\leq 2\\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um dia, dado que a máquina contém um galão no começo do mesmo dia. Multiplique a sua resposta por 100.

$\\ f_Y(y) = \int_0^y \frac{1}{2}dx = \left [\frac{x}{2} \right ]_0^y = \frac{y}{2} \\ \\ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{1}{2}.\frac{2}{y} = \frac{1}{y} \\ \\ P(x \leq 1/2|y=1) = \int_0^{1/2} 1.dx = \frac{1}{2}.100 = 50$