ANPEC PROVA 2012 - QUESTAO 13 - EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS

por sandrinhahelo Dom Jul 06, 2014 4:02 pm

Suponha uma economia com duas firmas competitivas, representadas por 1 e 2, que produzem o mesmo bem e têm as seguintes funções custo: = c1(x1)= 1/2 x²1, c2(x2) = 1/2 x²2. A firma 1 exerce uma externalidade negativa sobre a firma 2 de modo que a função lucro
da firma 2 é dada por: pi2 = p2x2 – c2 (x2) – e(x1). Sabendo que e(x1)=1/2 x²1 e que o preço do produto produzido é igual a 1, calcule a diferença entre a solução privada e a solução socialmente ótima na produção de bens da firma 1.

Pelo gabarito dá 1/2, mas nao entendi direito o desenvolvimento da resposta pelo livro da ANPEC.

por temujin Dom Jul 06, 2014 9:01 pm

Solução privada:

A firma 1 maximiza o seu lucro sem levar em conta a externalidade que ela gera para a firma 2. Para ela (firma 1) o que importa é escolher o nível de produção (x₁) que resolve o problema:

$\max_{x_1} p.x_1 - \frac{1}{2}x_1^2$

Note que este é um problema de otimização simples, sem restrição. Como a variável de escolha é x₁, basta derivar em relação a ela e igualar a zero:

$p-2.\frac{1}{2}x_1=0 \Rightarrow x_1=p \Rightarrow x_1=1$

Solução socialmente ótima:

Na solução socialmente ótima vc resolve o problema das duas firmas como se fossem uma só. Note que nessa função conjunta vc está incluindo o custo da externalidade, porque ela afeta o custo da firma 2:

$\max_{x_1} \Pi = \pi_1+\pi_2 = p.x_1 -\frac{1}{2}x_1^2+p.x_2-\frac{1}{2}x_2^2-\frac{1}{2}x_1^2$

De novo, basta derivar em relação a x₁ e igualar a zero:

$p-2.\frac{1}{2}x_1 - 2.\frac{1}{2}x_1=0 \Rightarrow 2x_1=p \Rightarrow x_1=\frac{1}{2}$

Então, a diferença entre a solução privada e a socialmente ótima é:

$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Repara que diferente do que eles fizeram no livro, estou chamando o preço de p, ao invés de p₁ e p₂, por que o enunciado diz que ambas as firmas produzem o mesmo bem. Então, não faz sentido falar em dois preços. Além disto, na solução privada eles falam da função lucro e da função custo da firma 2. Acho que isso é totalmente irrelevante. A questão quer saber do nível de produção da firma 1, apenas.

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