ANPEC 2013 - Q10

por temujin em Sex Mar 22, 2013 5:15 pm

(0) O passeio aleatório com drift, $\small y_t=c+y_{t-1}+\varepsilon _t, y_0=0, em \ que \ \varepsilon _t$ é um ruído branco com média zero e variância $\small \sigma^2$ , é um processo estacionário de segunda ordem se c=0.
F. Um passeio aleatório, com ou sem drift, é não estacionário.

(1) O processo MA(1), $\small y_t=\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1, \ em \ que \ \varepsilon}_t$ é um ruído branco com média zero e variância $\small \sigma^2$ , é estacionário de segunda ordem se, e seomente se, a raiz do polinômio $\small 1+\theta_1x$ cair fora do círculo unitário.
F. Um MA não impõe condições sobre os parâmetros para ser estacionário. Esta é a condição de invertibilidade.

(2) O processo MA(1), $\small y_t=\varepsilon_t-\theta_1\varepsilon_{t-1, \ em \ que \ \varepsilon}_t$ é um ruído branco com média zero e variância $\small \sigma^2$ , é inversível se, e somente se, $\small \left | \theta_1 \right |<1$ .
V. Item (1).

(3) O processo AR(2), $\small y_t= \phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\varepsilon_t, \ em \ que \ \varepsilon_t$ é um ruído branco com média zero e variância $\small \sigma^2$ é estacionário de segunda ordem se $\small \left | \phi_2 \right |<1, \phi_2-\phi_1<1 \ e \ \phi_2+\phi_1<1$ .
V. Neste caso, as raízes da equação característica estão fora do círculo unitário.

(4) No passeio aleatório, $\small y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t, y_0=0, \ em \ que \ \varepsilon_t$ é um ruído branco com média zero e variância $\small \sigma^2$ , a variância de y_t varia com t.
V. Isso vale para passeio aleatório com ou sem drift.
$\small var(y_t)=var(\sum_{i=1}^t\varepsilon_i)=\sum_{i=1}^tvar(\varepsilon_i)=t\sigma^2_\varepsilon$