ANPEC 2002 - Q8

por temujin Sex Abr 12, 2013 6:07 pm

Considere a expansão de Taylor até o termo de quinta ordem, em torno do ponto x=0. Assinale V ou F:

(0) $\small e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}$ .

V. Como é torno de x=0, o termo e^x = 1. Portanto,

$\small e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}$

(1) $\small ln(1+x) \approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}$

V.

$\small \\ f(x)=ln(1+x) \ ; \ f'(x)=\frac{1}{1+x} \ ; \ f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2} \ ; \ f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3} \\ \\ f^4(x)=-\frac{6}{(1+x)^4} \ ; \ f^5(x)=\frac{24}{(1+x)^5}$

Como x=0:

$\small \\ f(0)=ln(1)=0 \ ; \ f'(0)=\frac{1}{1}=1 \ ; \ f''(0)=-\frac{1}{(1)^2}=-1 \ ; \ f'''(0)=\frac{2}{(1)^3}=2 \\ \\ f^4(0)=-\frac{6}{(1)^4}=-6 \ ; \ f^5(0)=\frac{24}{(1)^5}=24$

Assim,

$\small ln(1+x) \approx 0+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}-\frac{6x^4}{4!}+\frac{24x^5}{5!}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}$

(2) $\small cos x \approx x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$ .

F. A expansão do cos só tem termos de ordem par.

(3) $\small sen x \approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ .

F. A expansão do sen só tem termos de ordem ímpar.

(4) $\small a^x \approx 1+x.ln(a)+\frac{(xln(a))^2}{2}+\frac{(xln(a))^3}{6}+\frac{(xln(a))^4}{24}+\frac{(xln(a))^5}{120}$ .

V.

$\\ a^x=e^{ln(a)^x} \Rightarrow a^x=e^{xln(a)} \\ \\ a^x \approx 1+x.ln(a)+\frac{(xln(a))^2}{2}+\frac{(xln(a))^3}{3!}+\frac{(xln(a))^4}{4!}+\frac{(xln(a))^5}{5!}$