ANPEC 2010 - Q11

por temujin Seg Ago 05, 2013 9:17 pm

Suponha que você tenha três variáveis X₁, X₂ e X₃ independentes e identicamente distribuídas, cada uma com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Calcule E[(X₁-2X₂+X₃)²]. Multiplique o resultado por 100.

Como as três são uniformes:

$\\ E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\frac{1}{2} \\ \\ Var(X_1)=Var(X_2)=Var(X_3) = \frac{1}{12} \\ \\$

E como são independentes:

$\\ Cov(X_1,X_2)=Cov(X_1,X_3)=Cov(X_2,X_3)=0$

Definindo Y = X₁-2X₂+X₃:

$\\ E(Y)=E(X_1)-2E(X_2)+E(X_3) = \frac{1}{2}-2.\frac{1}{2}+\frac{1}{2} - 0 \\ \\ Var(Y) = Var(X_1)+4Var(X_2)+Var(X_3) = 6Var(X_1) = 6.\frac{1}{12} = \frac{1}{2}\\ \\ Var(Y) = E(Y^2)-[E(Y)]^2 \Rightarrow \frac{1}{2}=E(Y^2) - 0 \Rightarrow E(Y^2)=\frac{1}{2}.100 = 50$