ANPEC 2013 - Q5
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ANPEC 2013 - Q5
por temujin Sex Mar 22, 2013 2:06 pm
Um pesquisador corretamente postula o seguinte modelo de regressão:
em que ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo, com média zero e variância finita.
Julgue as afirmativas:
(0) yt é um processo estacionário.
F. Um processo é estacionário (fracamente) se média e variância forem constantes no tempo e se covariância entre dois períodos depender apenas da defasagem entre os períodos.
=E(\beta_1+\beta_2t+u_t)=E(\beta_1)+E(\beta_2t)+E(u_t)=\beta_1+\beta_2t\\ var(y_t)=var(\beta_1+\beta_2t+u_t)=var(u_t)=\sigma^2_u \gamma_t=cov(x_t,x_{t-\tau})=cov(\beta_1+\beta_2t+u_t;\beta_1+\beta_2{t-\tau}+u_{t-\tau})=cov(u_t;u_{t-\tau})=\left\{\begin{matrix} \sigma^2_u, \ \ \tau=0\\ 0, \tau \neq 0 \end{matrix}\right. "E(y_t)=E(\beta_1+\beta_2t+u_t)=E(\beta_1)+E(\beta_2t)+E(u_t)=\beta_1+\beta_2t\\ var(y_t)=var(\beta_1+\beta_2t+u_t)=var(u_t)=\sigma^2_u \gamma_t=cov(x_t,x_{t-\tau})=cov(\beta_1+\beta_2t+u_t;\beta_1+\beta_2{t-\tau}+u_{t-\tau})=cov(u_t;u_{t-\tau})=\left\{\begin{matrix} \sigma^2_u, \ \ \tau=0\\ 0, \tau \neq 0 \end{matrix}\right.")
já que ut é um ruído branco.
(1)
é um processo estacionário de segunda ordem.
V. Seja:
=\Delta y_t=(\beta_1+\beta_2t+u_t)-(\beta_1+\beta_2t_{-1}+u_{t-1})=\beta_2+u_t-u_{t-1}\\ E(z_t)=E(\beta_2+u_t-u_{t-1})=\beta_2, \forall t\\ var(z_t)=var(\beta_2+u_t-u_{t-1})=var(u_t-u_{t-1})=var(u_t)+var(u_{t-1})-2cov(u_t,u_{t-1})=var(u_t)+var(u_{t-1})=\sigma^2_u+\sigma^2_u=2\sigma^2_u, \forall t "z(t)=\Delta y_t=(\beta_1+\beta_2t+u_t)-(\beta_1+\beta_2t_{-1}+u_{t-1})=\beta_2+u_t-u_{t-1}\\ E(z_t)=E(\beta_2+u_t-u_{t-1})=\beta_2, \forall t\\ var(z_t)=var(\beta_2+u_t-u_{t-1})=var(u_t-u_{t-1})=var(u_t)+var(u_{t-1})-2cov(u_t,u_{t-1})=var(u_t)+var(u_{t-1})=\sigma^2_u+\sigma^2_u=2\sigma^2_u, \forall t")
uma vez que ut é i.i.d. E, portanto:
=cov(\beta_2+u_t-u_{t-1},\beta_2+u_{t-\tau}-u_{t-1-\tau})=\\ =cov(u_t,u_{t-\tau})-cov(u_t,u_{t-1-\tau})-cov(u_{t-1},u_{t-\tau})+cov(u_{t-1},u_{t-1-\tau})=\\ \left\{\begin{matrix} 2\sigma^2_u,\ \tau=0\\ -\sigma^2_u,\ \tau=1\\ 0, \ \tau \geq 2 \end{matrix}\right. "\gamma_t=cov(z_t,z_{t-\tau})=cov(\beta_2+u_t-u_{t-1},\beta_2+u_{t-\tau}-u_{t-1-\tau})=\\ =cov(u_t,u_{t-\tau})-cov(u_t,u_{t-1-\tau})-cov(u_{t-1},u_{t-\tau})+cov(u_{t-1},u_{t-1-\tau})=\\ \left\{\begin{matrix} 2\sigma^2_u,\ \tau=0\\ -\sigma^2_u,\ \tau=1\\ 0, \ \tau \geq 2 \end{matrix}\right.")
(2) Mínimos quadrados ordinários aplicado à equação (1) produz uma estimativa não viesada de
.
V. O modelo atende às hipóteses do modelo clássico.
(3) Seja}{T-1}. \ \ \ \hat{\beta_2} "\hat{\beta_2}=\frac{\sum_{t=2}^T(y_t-y_{t-1})}{T-1}. \ \ \ \hat{\beta_2}")
é um estimador consistente de .
Essa eu empaquei.
(4) Suponha que
uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo, com média zero e variância finita. O estimador de MQO de na equação (1) é não viesado.
V. Neste caso, estamos violando a hipótese de ausência de autocorrelação entre os erros. Se os erros forem autocorrelacionados, o estimador ainda é não viesado. Mas ele perde em eficiência.
em que ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo, com média zero e variância finita.
Julgue as afirmativas:
(0) yt é um processo estacionário.
F. Um processo é estacionário (fracamente) se média e variância forem constantes no tempo e se covariância entre dois períodos depender apenas da defasagem entre os períodos.
já que ut é um ruído branco.
(1)
V. Seja:
uma vez que ut é i.i.d. E, portanto:
(2) Mínimos quadrados ordinários aplicado à equação (1) produz uma estimativa não viesada de
V. O modelo atende às hipóteses do modelo clássico.
(3) Seja
Essa eu empaquei.(4) Suponha que
V. Neste caso, estamos violando a hipótese de ausência de autocorrelação entre os erros. Se os erros forem autocorrelacionados, o estimador ainda é não viesado. Mas ele perde em eficiência.
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
por temujin Seg Jun 24, 2013 12:33 pm
(3) V.
Não sei se é a solução correta, mas foi o que eu consegui:
Pra saber se é consistente, precisamos saber se o estimador converge em probabilidade para o real valor. Assim:
&space;=&space;plim&space;\left(\frac{\sum_{t=2}^T&space;(\beta_1+\beta_2t+u_t)}{T-1}\right)-plim&space;\left(\frac{\sum_{t=2}^T&space;(\beta_1+\beta_2(t-1)+u_{t-1})}{T-1}\right)=plim\left(\beta_2&space;\left(\frac{\sum_{t=2}^T&space;t}{T-1}-\frac{\sum_{t=2}^T&space;t-1}{T-1}&space;\right&space;)&space;\right&space;)=\beta_2.&space;plim&space;\left(\frac{T-2}{T-1}-\frac{T-2-1}{T-1}&space;\right&space;)=\beta_2 "\\ plim (\hat{\beta_2}) = plim \left(\frac{\sum_{t=2}^T (\beta_1+\beta_2t+u_t)}{T-1}\right)-plim \left(\frac{\sum_{t=2}^T (\beta_1+\beta_2(t-1)+u_{t-1})}{T-1}\right)=plim\left(\beta_2 \left(\frac{\sum_{t=2}^T t}{T-1}-\frac{\sum_{t=2}^T t-1}{T-1} \right ) \right )=\beta_2. plim \left(\frac{T-2}{T-1}-\frac{T-2-1}{T-1} \right )=\beta_2")
Usando o fato de que o plim de uma constante é a própria constante (intercepto) e o plim do termo de erro é a média dos erros (0).
Será que vale assim???
Não sei se é a solução correta, mas foi o que eu consegui:
Pra saber se é consistente, precisamos saber se o estimador converge em probabilidade para o real valor. Assim:
Usando o fato de que o plim de uma constante é a própria constante (intercepto) e o plim do termo de erro é a média dos erros (0).
Será que vale assim???
temujin- Mensagens : 397
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