ANPEC 2003 - Q8

por temujin Sex Abr 12, 2013 5:32 pm

Assinale V ou F:

(0) Se $\small f:[a;b] \rightarrow \mathbb{R}$ é derivável e para todo x₀ < x < x₁ pertencentes ao intervalo [a;b] vale $\small \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} < \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ , então $\small f'(x_0) \leq f'(x_1), \forall \ x_0<x_1 \in [a;b]$ .

V. Tomando os limites de x tendendo a x₀ e x tendendo a x₁ nos termos da esquerda e da direita, respectivamente, temos :

$\small f'(x_0) \leq \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \leq f'(x_1)$

(1) Se f(x) = (1+i)^x, o < x < 1 e i > 0, então (1+i)^x < 1 + ix.

V. Como 0 < x < 1, temos que:

$\small (1+i)^x=\sqrt[x]{1+i}$

Que está abaixo da linear 1+ix, cruzando apenas em x=1.

(2) Se f''(x) < 0, para todo x pertencente a [a;b], então

$\small f\left ( \frac{x+y}{2} \right )<\frac{f(x)+f(y)}{2}$ para x,y pertencentes a [a;b].

F. Esta é a definição de convexidade. Mas, se f''(x) < 0, f é côncava.

(3) Se f''(x) > 0, para todo x pertencente a [a;b], então f(x) < f'(b)(x-b)+f(b), para todo x pertencente a [a;b].

F. Se f''(x) > 0, f é estritamente convexa. E, portanto:

f(x) > f'(x₀)(x-x₀), para todo x₀ em [a;b]