ANPEC 2006 - Q4

por temujin Sex Abr 12, 2013 11:49 am

Considere a função f(x) = x³-2x²+x-1. Julgue as afirmativas:

(0) O ponto x=1 é ponto de máximo local.

F.
f'(x) = 3x²-4x+1 ; Soma: 4/3 , Produto 1/3 ; Os pontos críticos são 1 e 1/3.
f''(x) = 6x-4 ; f''(1)= 6.1-4 = 2

Logo, o ponto é de mínimo.

(1) Existe uma vizinhança do ponto x=1 dentro da qual o menor valor que a função g(x) = f(x)+1 assum é 0.

V.

$\small \lim_{x \to 1}f(x)=-1 \ \ ; \ \ g(x)=\lim_{x \to 1}f(x)+1=-1+1=0$

(2) f(x) possui uma inflexão em x=2/3.

V.
f''(x): 6x-4 = 0 --> x = 4/6 = 2/3

(3) f(x) é convexa apenas na região $\small \left (-\infty;\frac{1}{3} \right )$ e côncava na região $\small \left (1;\infty \right )$ .

F. Item (2):
f(x) é côncava para x < 2/3

(4) A expansão de Taylor de ordem 3 de f(x) em torno de um ponto qualquer é a própria função f.

V. f é um polinômio de grau 3.