ANPEC 2003 - Q6

por temujin Sex Abr 12, 2013 5:10 pm

Considere a expansão de Taylor para a função y=f(x) em torno do ponto x=0. Assinale V ou F:

(0) e^x=1+e^x+e^xx²+e^xx³+...

F.

$\small e^x=1+e^x+\frac{e^xx^2}{2!}+\frac{e^xx^3}{3!}+...$

(1) Para qualquer parâmetro a, o termo independente (primeiro termo) da expansão de Taylor de e^ax é sempre igual à unidade.

V. Como a expansão é em torno de x=0, então:

$\small e^{ax}=e^{a0}+ae^{a0}+\frac{a^2e^{a0}}{2!}+\frac{a^3e^{a0}}{3!}+...$

Logo, o primeiro termo será sempre igual a 1.

(2) Se x=0 for um ponto estacionário da função, para afirmar se x é um ponto de máximo ou de mínimo basta verificar o sinal do termo de segunda ordem da expansão de Taylor.

F. A segunda derivada no ponto pode ser igual a zero e ainda assim o ponto ser um extremo (por exemplo, se f for um polinômio de grau > 2).

(3) Para qualquer polinômio, a expansão de Taylor é necessariamente finita.

V. De fato, é o próprio polinômio.

(4) O termo de terceira ordem da aproximação da função y=e^2x é maior que o termo de segunda ordem em valores absolutos.

F.

$\small e^{2x}=e^{2.0}+2e^{2.0}+\frac{2^2e^{2.0}}{2!}+\frac{2^3e^{2.0}}{3!}+...$

Neste caso, o termo de segunda ordem (4/2) é maior que o termo de terceira ordem (8/6).