ANPEC 2013 - Q10

por temujin Dom Mar 17, 2013 5:38 pm

Considere a matriz $\small A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & -3\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ . Julgue as afirmativas:

(0) O número de autovalores distintos da matriz A é igual à ordem da matriz A.
F.
$\small \lambda I-A = \begin{bmatrix} \lambda +1 & 0 & -1\\ -3 & \lambda & 3\\ -1 & 0 & \lambda+1 \end{bmatrix}$

$\small p(A)=det(\lambda I-A) = \lambda(\lambda +1)^2 - \lambda = \lambda[(\lambda +1)^2-1]\Rightarrow \lambda _1=0 \ ;\ \lambda(\lambda+2)\Rightarrow \lambda _2=0 \ ;\lambda _3=-2$

Então, são dois autovalores distintos, mas a ordem da matriz é 3.

(1) A dimensão do subespaço associado ao maior autovalor é 1.
F. A dimensão do autoespaço associado a um autovalor é a multiplicidade geométrica. O maior autovalor é 0. O autovetor associado é dado por:
$\small \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & -3\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -x+z=0\\ 3x-3z=0\\ x-z=0 \end{matrix}\right.$

Seja x=z e y qualquer, podemos escrever $\small x=\alpha \ ; \ z=\alpha \ \ e \ y=\beta$ :

$\small \alpha\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.

(2) A dimensão do subespaço associado ao menor autovalor é 1.
V. O menor autovalor é -2. Como a multiplicidade algébrica é 1, a multiplicidade geométrica é no máximo 1.

(3) Os autovetores de A, v₁ = (0,1,0), v₂=(1,0,1) e v₃=(-1,3,1) formam uma base de R³.
V. Testando o vetor v₃ como autovetor, temos:
$\small \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & -3\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ -2 \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

Portanto, v₃ é o autovetor associado ao autovalor -2. Os outros já foram calculados no item (1).

(4) A matriz A é diagonalizável.
V. A soma das multiplicidades algébricas é igual a soma das multiplicidades geométricas, portanto, A é diagonalizável.