ANPEC 2013 - Q11

por temujin Sex Mar 22, 2013 5:46 pm

(0) Suponha que X₁,...,X_n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que P(X₁=x)=1/11, x=1,...,11. Então, pela Lei dos Grandes Números, à medida que $\small n\rightarrow 11, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^nXi}{n}$ converge para 11.
F. X~Uniforme, logo E(X)=(1+11)/2=6.

(1) Suponha que X₁,...,X_n sejam variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernouli, com parâmetro p. Defina $\small \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^nXi}{n}$ . Então, pelo Teorema Central do limite, à medida que $n \rightarrow \infty, \frac{(\bar{X}-p)}{\sqrt{p(1-p)/n}}$ converge para uma normal padrão.
V. X~Binomial(n,p) converge assintoticamente para uma normal padrão.

$\frac{(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim N(0,1), \mu=p, \sigma^2=p(1-p)$

(2) Suponha que X₁,...,X_n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo $[0,\theta]$ . Defina $\small \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^nXi}{n}$ . Então $2\bar{X}$ é um estimador não viesado de $\theta$ .
V.

$E(\bar{X})=\frac{\theta+0}{2}=\frac{\theta}{2} \Rightarrow 2E(\bar{X})=\theta$

(3) Suponha que X tenha uma distribuição t de Student com 4 graus de liberdade . Então, P(|X|>4)=0,23
F. A variância de uma t é dada por v/v-2, onde v são os graus de liberdade.

$P(|X-\mu|>\varepsilon)\leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \Rightarrow P(|X|>4)\leq \frac{\frac{4}{4-2}}{16}=\frac{1}{8},\ \sigma^2=gl-2$

(4) Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição t de Student com n graus de liberdade. À medida que n, aumenta, a distribuição de X se aproxima de uma normal padrão.
V. Pelo TLC.