ANPEC 2012 - Q3

por temujin Seg Abr 08, 2013 12:34 pm

Julgue as afirmativas:

(0) A equação da reta que passa por $\small \inline \left ( \frac{1}{3};\frac{2}{5} \right )$ e é paralela à reta que passa por (0,3) e por (5,0) é 3x+5y+3=0.

F. A reta não passa por este ponto: 3(1/3)+5(2/5+3 = 6 # 0.

(1) As circunferências C₁ de centro em (0,0) e raio 1 e C₂ de centro em (1,0) e raio 2 se interceptam num único ponto.

V.

ANPEC 2012 - Q3 2012q3

(2) Os pontos (1,1), (2,3) e ( a,-8 ) pertencem à mesma reta se e somente se a=3,5.

F. Sejam $\small \inline \vec{v}=(1,2)$ o vetor entre os pontos (1,1) e (2,3) e $\small \inline \vec{w}=(a-1,-9)$ o vetor de (1,1) a ( a,-8 ). Então, os pontos pertencem à mesma reta se e somente se v e w são paralelos. Assim, temos:

$\small \inline \\ \vec{w}=\lambda \vec{v} \\ \\ \left\{\begin{matrix} a-1=\lambda\\ -9=2\lambda \end{matrix}\right. \Rightarrow \lambda=-4,5 \Rightarrow a=-3,5$

(3) Sejam P=(3,-1,2) e Q=(4,-2,-1). A equação do plano que passa por P e é perpendicular ao vetor PQ é x-y-3z+2=0.

V. O vetor PQ é igual ao vetor normal ao plano:

$\small \inline \vec{PQ}=(1,-3,-3)$

E o plano passa pelo ponto P: 1(3)-1(-1)-3(2)+2=0

(4) Sejam $\small \inline m,k \in \mathbb{R}.$ /. Se os planos 2x+ky+3z-5=0 e mx-6y-6z+2=0 são paralelos, então k+m = -1.

V. Se os planos são paralelos, seus vetores normais serão paralelos. Portanto,

$\small \inline \\ \vec{n\pi_1}=(2,k,3) \ \ ; \ \ \vec{n\pi_2}=(m,-6,-6) \\ \\ \vec{n\pi_2}=\lambda \vec{n\pi_1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2=\lambda m\\ k=-6\lambda\\ 3=-6\lambda \end{matrix}\right. \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2} \ ; \ k=3 \ ; \ m=-4 \\ \\ k+m=3-4=-1$