ANPEC 2012 - Q2

por temujin Seg Abr 08, 2013 7:00 pm

(0) Seja $\small \inline f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=\frac{x}{2}$ se x é par e $\small \inline f(x)=\frac{x-1}{2}$ se x é ímpar. Então, f é bijetiva.

F. F(1) = 1/2 e F(2) = 1/2. Logo, f não é injetiva e, portanto, não pode ser bijetiva.

(1) Se $\small \inline f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}, f(x)=x^2$ , então f é sobrejetiva.

F.

$\small \inline Cd_f=\mathbb{Q} \ \ ; \ \ Im_f=\mathbb{Q}^*$

(2) Seja $\small \inline f(x)=\frac{x}{2}+1$ , então $\small \inline (f\circ f\circ f)(x)=f^3(x)=\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+1$ .

F.

$\small \inline \\ (f\circ f)(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}x+1 \right )+1=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2} \\ \\ (f\circ f \circ f)(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}x+\frac{3}{2} \right )+1=\frac{1}{8}x+\frac{7}{4}F$

(3) Seja f( x-8 )=2x-5, então f( 4x+1 )=8x+13.

V.

$\small \inline \\ t=x-8 \Rightarrow x=t+8 \ \ ; \ \ f(t)=2( t+8 )-5 = 2t+11 \\ \\ t=4x+1 \Rightarrow x=\frac{t-1}{4} \ \ ; \ \ f(t)=8\left ( \frac{t-1}{4} \right )+13=2t+11$

(4) Seja $\small \inline A \subset \mathbb{R} \ e \ h: A \rightarrow \mathbb{R}, \ tal \ que \ \sqrt{2x-1}h(x)=ln(3-3x) \in \mathbb{R}$ . Então, $\small \inline A \subset \left ( \frac{1}{2},1 \right )$ .

V. Sejam $\small \inline f(x)=ln(3-3x) \ e \ g(x)=\sqrt{2x-1}$ , então $\small \inline h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{ln(3-3x)}{\sqrt{2x-1}}$ .

As restrições sobre o domínio são f(x): x < 1 e g(x): x > 1/2. Logo, $\small \inline A \subset \left ( \frac{1}{2},1 \right )$ .