ANPEC 2003 - Q2

por temujin em Seg Abr 08, 2013 6:10 pm

(0) A equação da reta que passa por P₀(2,-1) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos P₁(2,-2) e P₂(5,0) é 3x+2y=5.

F. Esta reta não passa por P₀: 3(2)+2(-1)=4

(1) As retas a₀x+b₀y-c₀=0 e a₁x+b₁y-c₁=0 interceptam-se caso a₀a₁+b₀b₁=0.

V. Neste caso, elas são perpendiculares.

(2) Se existe $\small \inline \lambda \in \mathbb{R}: x_0=3+\lambda(x_0-2),y_0=5+\lambda(y_0-3),z_0=4+\lambda(z_0-5)$ , então o ponto P₀(x₀,y₀,z₀) está sobre a reta determinada por P₁(2,3,5) e P₂(3,5,4).

V. O vetor diretor da reta que passa por P₁ e P₂ é:

$\small \inline \vec{v}=(1,2,-1)$

Logo, as equações paramétricas da reta são dadas por:

x=2+t
y=3+2t
z=5-t

Igualando às coordenadas de P₀:

$\small \inline \\ 2+t = 3+\lambda(2+t-2) \\ \\ 2+t = 3+\lambda t \\ \\ t-\lambda t=1 \Rightarrow t=\frac{1}{1-\lambda}$

Logo, para $\small \inline \lambda \neq 1$ existe um valor $\small \inline t \in \mathbb{R}$ , tal que P₀ pertence à reta.

(3) Se a distância do ponto P(x,y,z) ao ponto Q(1,-2,0) é 5, então x²+y²+z²-2x+4y=20.

V. A distância de P a Q é dado pela norma do vetor QP:

$\small \inline \\ \vec{QP}= (x-1,y+2,z) \\ \\ \left \| \vec{QP} \right \|^2=x^2-2x+1+y^2+2y+4+z^2=25 \Rightarrow x^2+2x+y^2+4y+z^2=20$

(4) A equação do plano perpendicular ao plano 2x-3y+z-5=0 e que passa pelos pontos P₀(2,-6,4) e P₁(3,-6,5) é 3x+y-3z=0.

F. Testando os pontos: 3(2)+1(-6)-3(4) = -12 # 0