ANPEC 2005 - Q4

por temujin Qui Abr 11, 2013 10:01 am

Dadas as funções $\small f(x)=\frac{x^2-3}{x-1}, g(x)=\sqrt{x-1}$ , avalie as afirmativas:

(0) $\small g \circ f= \sqrt{\frac{x^2-x-1}{x-1}}$

F.

$\small g \circ f= \sqrt{\frac{x^2-3}{x-1}-1}=\sqrt{\frac{x^2-3-x+1}{x-1}}=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x-1}}$

(1) O domínio da função composta $\small h(x)=g \circ f$ é $\small \left [ -1;1 \right ]\cup\left [ 2;+\infty \right ]$
V. O domínio de h tem duas restrições: a do numerador, x não negativo, e a do denominador x diferente de 1. Analisando a primeira restrição:

$\small \\ x^2-x-2 \geq 0\\ \\ Soma: 1, Produto: -2 \\ \\ x'=-1, x''=2$

Logo, $\small x \leq -1, x \geq 2 \Rightarrow h(x) \geq 0$ .

Juntando as duas restrições: $\small [-1;1) \cup [2;+\infty)$

(2) A função f é injetora.

F. Acho que a melhor forma aqui é testando valores: f(3) = 3²-3/3-1 = 3 e f(0) = -3/-1 = 3. Logo, f não é injetora.

(3) O domínio da função u=f+g é $\small \left ( -\infty;-1 \right )\cup\left ( 1;+\infty \right )$

F.

\right ) \\ \\ Df\cap g=\left ( 1;\infty \right )" target="_blank"> $\small \inline \\ Df= x\in\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \} \\ \\ Dg=\left [ 1;\infty \right ) \\ \\ Df\cap g=\left ( 1;\infty \right )$

(4) O domínio da função g está contido na imagem dela.

[color=red]V.

$\small \\ Dg=\left [ 1;\infty \right ) \\ I g=\mathbb{R}^+$