ANPEC 2004 - Q5

por temujin Ter Ago 06, 2013 12:45 pm

Uma variável aleatória continua x tem a sua função densidade de probabilidade dada pelo gráfico:

ANPEC 2004 - Q5 Gnd6

São corretas as afirmativas:

(0) O valor da constante K1 não poderá ser maior do que 1.

F. A área sob a FDP é que não pode ser maior do que 1. Neste caso, a área é dada por um triângulo de base 1 e altura k1 mais um retângulo de base (k2-1) e altura k1. Assim, podemos determinar o valor da constantes k1:

$\\ \frac{k_1}{2}+k_1(k_2-1) = 1 \Rightarrow k_1\left ( \frac{1}{2}+k_2-1 \right )=1 \Rightarrow k_1\left ( \frac{2k_2-1}{2} \right )=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow k_1 = \frac{2}{2k_2-1}>1 \Leftrightarrow 2k_2-1<2 \Leftrightarrow k_2 <\frac{3}{2}$

(1) O valor da constante K2 será igual a (K1+2)/2K1.

V. Como visto no item anterior:

$k_1 = \frac{2}{2k_2-1} \Rightarrow (2k_2-1)k_1 = 2 \Rightarrow k_2 = \frac{2+k_1}{2k_1}$

(2) A função densidade de probabilidade de x será $f(x) = \left\{\begin{matrix} k_1x , 0 \leq x < 1\\ k_1, 1 \leq x \leq k_2\\ 0, \ fora \ destes \ intervalos \end{matrix}\right.$

V. É fácil ver pelo gráfico. f(x) é uma função linear entre no intervalo [0;1), com inclinação k1 (como a reta tem a forma y=ax, tomando x=1, temos y=a. Mas no ponto x=1, y=k1, portanto, k1 é o coeficiente angular desta reta). E no intervalo [1;k2], f(x)=k1.

(3) A função de distribuição acumulada de x será $F(x) = \left\{\begin{matrix} k_1x^2/2 , 0 \leq x <1\\ k_1x, 1 \leq x \leq k_2\\ 1, \ fora \ destes \ intervalos \end{matrix}\right.$

F. Integrando no intervalo [0;1):

$\\ \int_0^1 k_1x \ dx = \frac{k_1x^2}{2} \\$

Se x=1, f(x) = k1/2. E integrando daí em diante:

$\\ \\ \int_1^{x}k_1 dx = k_1(x-1) \\ \\$

Logo, no intervalo [1;k2]:

$\frac{k_1}{2}+ k_1(x-1) = \frac{k_1(2x-1)}{2}$

E, portanto, a FDA é dada por:

$F(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{k_1x^2}{2}, 0 \leq x < 1\\ \frac{k_1(2x-1)}{2}, 1 \leq x \leq x_2\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

(4) Supondo que K2 =1, a esperança matemática de x, E(x), será 1/3.

F. Se k2 =1, k1=2. . Portanto,

$E(X )=\int_0^1 2x^2 \ dx = \left \frac{2}{3}x^3 \right |_0^1 = \frac{2}{3}$