ANPEC 2013 - Q8

por temujin Dom Mar 17, 2013 5:00 pm

Analise a veracidade das seguintes afirmações:

(0) $\small \int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^4sen(x)dx = 0$ .
V. Esse é o tipo de questão pra ganhar tempo. Não é pra integrar. Basta perceber que vc pode escrever como h(x)=f(x)g(x), onde f(x)=x⁴ é uma função par e g(x)=sen(x) é uma função ímpar. Logo, h(x) é uma função ímpar. E função ímpar, intervalo simétrico a integral é 0.

(1) Se P(x) é um polinômio de grau n, então $\small \int P(x)dx$ é um polinômio de grau n-1.
F. É um polinômio de grau n+1.

(2) $\small \int_{-1}^{1}\left ( \frac{1+x}{2+x} \right )dx = 2-ln(3)$

V.
$\small \int_{-1}^{1}\left ( \frac{1+x}{2+x} \right )dx = \int_{-1}^{1}1 -\left ( \frac{1}{2+x} \right )dx = \int_{-1}^{1}dx - \int_{-1}^{1}\frac{1}{2+x}dx$

Aqui vem a substituição u=2+x, então:

$\small x - \int_{-1}^{1}\left ( \frac{1}{u} \right )du = x-ln(u)= \left [ x-ln(x+2) \right ]_{-1}^{1} = [1-ln3]-[-1-ln1] = 2-ln3$

(3) A área compreendida entre $\small f(x) = \frac{1}{x}\ e \ g(x)= \frac{-x}{5}+\frac{6}{5}$ é igual a $\small \frac{6}{5}-ln(5)$ .

scratch

(4) $\small \int f(x)g(x)dx = \left ( \int f(x)dx \right )g(x)+f(x)\left ( \int g(x)dx \right )$

F. Derivando a expressão do lado direito:

$\small f(x)g(x)+g'(x)\left ( \int f(x)dx \right )+f'(x)\left ( \int g(x)dx \right )+f(x)g(x)\neq f(x)g(x)$

por temujin Sáb Jun 15, 2013 3:12 pm

(3) F.

Primeiro é preciso achar o intervalo onde é preciso integrar. Como se trata de uma hipérbole e uma função linear, elas se interceptam em 1 ou 2 pontos. Assim,

$\\ -\frac{x}{5}+\frac{6}{5}=\frac{1}{x} \Rightarrow -x^2+6x - 5 = 0 \therefore x'=1, x''=5$

Integrando neste intervalo:

$\\ \int_1^5 \left ( -\frac{x}{5}+\frac{6}{5}-\frac{1}{x} \right )dx = \left [ -\frac{x^2}{10}+\frac{6x}{5}-ln(x) \right ]_1^5=\left ( -\frac{25}{10}+6-ln(5) \right )-\left ( -\frac{1}{10}+\frac{6}{5}-ln(1) \right )=\frac{35}{10}-ln(5)-\frac{11}{10}=\frac{12}{5}-ln(5)$

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