ANPEC 2009 - Q2

por temujin Sáb Ago 03, 2013 9:15 pm

Sobre Teoria das Probabilidades indique as alternativas corretas e falsas:

(0) Sejam 3 eventos A, B e C. Então, podemos demonstrar que $P(A|B)=P(C|B)P(A|B \cap C)+P(\bar{C}|B)P(A|B \cap \bar{C})$ , assumindo que todos os eventos tem probabilidade positiva.

V.

$\\ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \\ \\ \frac{P(B \cap C)}{P(B)}.\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}+\frac{P(B \cap \bar{C})}{P(B)}.\frac{P(A \cap B \cap \bar{C})}{P(B \cap \bar{C})} = \frac{P(A \cap B \cap C)+P(A \cap B \cap \bar{C})}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

(1) Se dois eventos A e B são independentes, os eventos A e B^c não serão necessariamente independentes.

F. Eles são independentes:

$\\ P(A \cap B^c) = P(A)-P(A \cap B) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)[1-P(B)] = P(A)P(B^c)$

(2) Se A, B e C são três eventos tais que A e B são disjuntos, A e C são independentes e B e C são independentes e supondo-se que 4P(A) = 2 P(B) = P(C) e P(A ∪B ∪C)=5P(A), pode-se dizer que P(A) = 1/6.

V.

$\\ P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C) - P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$

Com A e B disjuntos e A,C e B,C independentes:

$\\ P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(C) - P(B)P(C) = 5P(A)$

Colocando tudo em termos de P(A) e abreviando para p:

$\\ p+2p+4p-4p^2-8p^2-5p=0 \Rightarrow p(12-p)= 0 \Rightarrow p=0 \ ou \ p=\frac{1}{6}$

(3) Se uma família tem exatamente n crianças (n ≥ 2) e assumindo-se que a probabilidade de que qualquer criança seja uma menina é igual a ½ e todos os nascimentos são independentes, pode-se afirmar que dado que a família tem no mínimo uma menina, a probabilidade da mesma ter no mínimo um menino é igual a (1–(0,5)n-1)/ (1–(0,5)n).

scratch

(4) Se A, B e C são eventos com probabilidade não nula, definidos em um espaço amostral S, então P(A∩C|B∩C)=P(A∩B|C)/P(B|C).

V.

$\\ P(A \cap C|B \cap C) = \frac{P[(A \cap C) \cap (B \cap C)]}{P(B \cap C)} = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)} \\ \\ \\ \frac{P(A \cap B|C)}{P(B|C)} = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}.\frac{P(C)}{P(B \cap C)} = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}$