ANPEC 2013 - Q5
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ANPEC 2013 - Q5
por temujin Qui Mar 14, 2013 4:02 pm
Essa é cruel. 
Só consegui responder o primeiro item. Se alguém souber os outros...
Numa indústria competitiva, todas as empresas usam a mesma tecnologia dada pela função de produção q = K1/6L1/3 O insumo L é comercializado também num mercado competitivo ao preço de PL = 1. Já o insumo K é mantido fixo no curto prazo e é comercializado ao preço de PK=1/2. A demanda de mercado para o produto final é Qd = 400-100p. Analise as afirmações abaixo:
(0) O nível de K que minimiza o custo total de curto prazo é K = q2.
V. O problema é Min(k,l) wL+rK, sa.a Q=f(K,L). Montando o lagrangeano, temos:
T = L+K/2+g[Q - K1/6L1/3]
dT/dL: 1 = g.(K1/6)/3L2/3)
dT/dK: 1/2 = g.(L1/3)/6K5/6
dT/dG: Q = K1/6L1/3
(dT/dL)/(dT/dK): L/K = 1 -> L = K
Substituindo na restrição: Q = K1/6K1/3 = K1/2 -> K=L= Q2
(1) Supondo que as firmas incorrem num custo fixo igual a 1/6, a produção eficiente para as firmas nesse mercado é q=1/4.
(2) O preço de equilíbrio de longo prazo da firma é p=1
(3) O nível de produção ótimo das firmas é q=400.
(4) Dadas as características desse mercado o número de firmas ótimo é n=900.
Só consegui responder o primeiro item. Se alguém souber os outros...
Numa indústria competitiva, todas as empresas usam a mesma tecnologia dada pela função de produção q = K1/6L1/3 O insumo L é comercializado também num mercado competitivo ao preço de PL = 1. Já o insumo K é mantido fixo no curto prazo e é comercializado ao preço de PK=1/2. A demanda de mercado para o produto final é Qd = 400-100p. Analise as afirmações abaixo:
(0) O nível de K que minimiza o custo total de curto prazo é K = q2.
V. O problema é Min(k,l) wL+rK, sa.a Q=f(K,L). Montando o lagrangeano, temos:
T = L+K/2+g[Q - K1/6L1/3]
dT/dL: 1 = g.(K1/6)/3L2/3)
dT/dK: 1/2 = g.(L1/3)/6K5/6
dT/dG: Q = K1/6L1/3
(dT/dL)/(dT/dK): L/K = 1 -> L = K
Substituindo na restrição: Q = K1/6K1/3 = K1/2 -> K=L= Q2
(1) Supondo que as firmas incorrem num custo fixo igual a 1/6, a produção eficiente para as firmas nesse mercado é q=1/4.
(2) O preço de equilíbrio de longo prazo da firma é p=1
(3) O nível de produção ótimo das firmas é q=400.
(4) Dadas as características desse mercado o número de firmas ótimo é n=900.
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
por temujin Qua maio 22, 2013 11:07 am
Vou colocar aqui a resolução do livro do pessoal da EPGE. Particularmente, não estou muito convencido ainda 
(1) F.
O custo de se produzir q unidades no curto prazo é obtido pelo problema de maximização:
= min_L\left ( 1L+\frac{1}{2}\bar{K} \right )\\ \\ s.a. \ q=\bar{K}^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}} "\inline \\ c\left ( L,\bar{K} \right )= min_L\left ( 1L+\frac{1}{2}\bar{K} \right )\\ \\ s.a. \ q=\bar{K}^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}}")
Sendo o custo fixo igual a 1/6, temos que
. O problema pode ser reescrito como:
= min_L\left ( L+\frac{1}{6}\right )\\ \\ s.a. \ q=\frac{1}{3}^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}} "\inline \\ c\left ( L,\bar{K}=\frac{1}{3} \right )= min_L\left ( L+\frac{1}{6}\right )\\ \\ s.a. \ q=\frac{1}{3}^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}}")
E, portanto:
= 3^{\frac{1}{2}}q^3+\frac{1}{6} "\inline c(q)= 3^{\frac{1}{2}}q^3+\frac{1}{6}")
O custo marginal de curto prazo é dado por:
}{dq}=3^{\frac{3}{2}}q^2 "\inline \frac{dc(q)}{dq}=3^{\frac{3}{2}}q^2")
A curva de oferta da firma competitiva no curto prazo será:
}{dq}\Rightarrow p=3^{\frac{3}{2}}q^2 \Rightarrow q_i^s(p)=\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}} "\inline p=\frac{dc(q)}{dq}\Rightarrow p=3^{\frac{3}{2}}q^2 \Rightarrow q_i^s(p)=\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}}")
Como o preço dos fatores é dado, a curva de oferta de mercado no curto prazo será a soma horizontal das curvas de oferta das firmas competitivas no curto prazo:
=\sum_{i=1}^{n}q_i^s(p)=\sum_{i=1}^{n}\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}}=n\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}} "\inline q^s(p)=\sum_{i=1}^{n}q_i^s(p)=\sum_{i=1}^{n}\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}}=n\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}}")
No equilíbrio de curto prazo:
=q^s(p) \Rightarrow 400-100p=n\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}} "\inline q^d(p)=q^s(p) \Rightarrow 400-100p=n\frac{p^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{3}{4}}}")
A resolução desta equação dará o preço de equilíbrio, mas esta depende do número de firmas (n) que não foi especificado. Logo, não é possível determinar o preço de equilíbrio de curto prazo que cada firma tomará como dado para decidir o quanto irá produzir.
(2) F. O gabarito da Anpec é V.
O custo de se produzir q unidades no longo prazo é obtido pelo seguinte problema de otimização:
=min_L(1L+\frac{1}{2}K)\\ \\ s.a. \ q=K^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}} "\inline \\ c(L,K)=min_L(1L+\frac{1}{2}K)\\ \\ s.a. \ q=K^{\frac{1}{6}}L^{\frac{1}{3}}")
Obs: Aqui acho que foi só um erro de notação, pq no longo prazo K é variável, portanto é preciso minimizar K,L.
Sabe-se que em equilíbrio:
Substituindo na função de produção:
Portanto,
=\frac{3}{2}q^2 "\inline c(q)=\frac{3}{2}q^2")
Os custos médio e marginal:
}{q}=\frac{3}{2}q \ \ \ \ \ \frac{dc(q)}{dq}=3q "\inline \frac{c(q)}{q}=\frac{3}{2}q \ \ \ \ \ \frac{dc(q)}{dq}=3q")
No equilíbrio de longo prazo em concorrência perfeita P=CMg=CMe, o que só acontece com q=0 e, portanto, p=0.
(3) F.
No longo prazo, q=0 e p=0. Portanto, qd = 400-100.0 = 400.
q=400 é o nível ótimo de produção de TODAS as firmas.
(4) F. O gabarito da Anpec é V.
Se o nível ótimo de cada firma é q=0, devemos ter n infinito.
(1) F.
O custo de se produzir q unidades no curto prazo é obtido pelo problema de maximização:
Sendo o custo fixo igual a 1/6, temos que
E, portanto:
O custo marginal de curto prazo é dado por:
A curva de oferta da firma competitiva no curto prazo será:
Como o preço dos fatores é dado, a curva de oferta de mercado no curto prazo será a soma horizontal das curvas de oferta das firmas competitivas no curto prazo:
No equilíbrio de curto prazo:
A resolução desta equação dará o preço de equilíbrio, mas esta depende do número de firmas (n) que não foi especificado. Logo, não é possível determinar o preço de equilíbrio de curto prazo que cada firma tomará como dado para decidir o quanto irá produzir.
(2) F. O gabarito da Anpec é V.
O custo de se produzir q unidades no longo prazo é obtido pelo seguinte problema de otimização:
Obs: Aqui acho que foi só um erro de notação, pq no longo prazo K é variável, portanto é preciso minimizar K,L.
Sabe-se que em equilíbrio:
Substituindo na função de produção:
Portanto,
Os custos médio e marginal:
No equilíbrio de longo prazo em concorrência perfeita P=CMg=CMe, o que só acontece com q=0 e, portanto, p=0.
(3) F.
No longo prazo, q=0 e p=0. Portanto, qd = 400-100.0 = 400.
q=400 é o nível ótimo de produção de TODAS as firmas.
(4) F. O gabarito da Anpec é V.
Se o nível ótimo de cada firma é q=0, devemos ter n infinito.
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
por Paulo Henrique Dom Jun 02, 2013 1:08 pm
Boa tarde,
Essa é uma questão que está contida no Kreps " A Course in Microeconomic Theory" pg. 275-276.
A oferta da firma é y=1/3 e a oferta e demanda agregada são 300 unidades, preço de equilibro de longo prazo=1. 900 firmas vão ofertar e o Lucro econômico é igual a zero, isso tudo considerando o modelo de longo prazo, onde a tecnologia é única e copiável, há livre entrada e saída de firmas, os 2 insumos variando e as firmas são tomadoras de preços.
Essa é uma questão que está contida no Kreps " A Course in Microeconomic Theory" pg. 275-276.
A oferta da firma é y=1/3 e a oferta e demanda agregada são 300 unidades, preço de equilibro de longo prazo=1. 900 firmas vão ofertar e o Lucro econômico é igual a zero, isso tudo considerando o modelo de longo prazo, onde a tecnologia é única e copiável, há livre entrada e saída de firmas, os 2 insumos variando e as firmas são tomadoras de preços.
Paulo Henrique- Mensagens : 1
Data de inscrição : 30/04/2013
Re: ANPEC 2013 - Q5
por temujin Seg Jun 03, 2013 3:33 pm
Caramba, agora sim, matou o problema!! 
O pulo do gato é perceber que o custo fixo não é o custo de K. É um custo adicional.
(1) F.
Como visto no item (0), K=L=q2. Reescrevendo a função custo:
=\frac{1}{2}q^2+q^2+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}q^2+\frac{1}{6} "\inline C(q)=\frac{1}{2}q^2+q^2+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}q^2+\frac{1}{6}")
A produção eficiente será no ponto de mínimo do Cme:
=\frac{3}{2}q+\frac{1}{6q} \\ \\ CMe^*=\frac{3}{2}-\frac{1}{6q^2}=0 \Rightarrow q^2=\frac{1}{9} \Rightarrow q^*=\frac{1}{3} "\inline \\ CMe(q)=\frac{3}{2}q+\frac{1}{6q} \\ \\ CMe^*=\frac{3}{2}-\frac{1}{6q^2}=0 \Rightarrow q^2=\frac{1}{9} \Rightarrow q^*=\frac{1}{3}")
(2) V.
No longo prazo, p=Cme:
(3) F.
Substituindo na demanda: Qd = 400-100.1 = 300
(4) V.
Muito bom. Valeu!!!
O pulo do gato é perceber que o custo fixo não é o custo de K. É um custo adicional.
(1) F.
Como visto no item (0), K=L=q2. Reescrevendo a função custo:
A produção eficiente será no ponto de mínimo do Cme:
(2) V.
No longo prazo, p=Cme:
(3) F.
Substituindo na demanda: Qd = 400-100.1 = 300
(4) V.
Muito bom. Valeu!!!
temujin- Mensagens : 397
Data de inscrição : 10/03/2013
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