ANPEC 2013 - Q15
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ANPEC 2013 - Q15
por temujin Sex Mar 15, 2013 3:51 pm
Considere um mundo com duas mercadorias, no qual as preferências podem ser expressas pela equação U(X1,X2) = (10X1)1/2+X2, em que (X1,X2) representa a quantidade consumida das duas mercadorias. Sabendo que os preços das mercadorias são respectivamente, P(X1) = 2,5 e P(X2) = 8, diga qual o impacto sobre o bem estar de uma elevação do preço da mercadoria X1 para P(X1) = 5.
Essa é uma questão extremamente irritante. Gastei horas e horas pra chegar numa resposta que era muito óbvia.
O segredo aqui é perceber que se trata de uma utilidade quase-linear e que, portanto, a variação do bem-estar é igual à variação compensatória e à variação equivalente. Aí fica simples.
Primeiro achamos a demanda marshalliana:
^{1/2}+X_{2} + \lambda (M - p_{1}X_{1} - p_{2}X_{2}) "L = (10X_{1})^{1/2}+X_{2} + \lambda (M - p_{1}X_{1} - p_{2}X_{2})")
^{1/2} = \lambda p_{1} \ \ \ \ ; \ \ \frac{\partial L}{\partial X_{2}} : 1 = \lambda p_{2}\ \ \ \ ; \ \ \frac{\partial L}{\partial \lambda} : M = p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2} "\frac{\partial L}{\partial X_{1}} : \left ( \frac{10}{2X_{1}} \right )^{1/2} = \lambda p_{1} \ \ \ \ ; \ \ \frac{\partial L}{\partial X_{2}} : 1 = \lambda p_{2}\ \ \ \ ; \ \ \frac{\partial L}{\partial \lambda} : M = p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}")
^{1/2} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \ \ \rightarrow X_{1}^{*} = \frac{5p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}} "\frac{\frac{\partial L}{\partial X_{1}}}{\frac{\partial L}{\partial X_{2}}} : \left ( \frac{10}{2X_{1}} \right )^{1/2} = \frac{p_{1}}{p_{2}} \ \ \rightarrow X_{1}^{*} = \frac{5p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}}")
Agora é que tem a sacada. A variação compensatória é a integral da demanda hicksiana pelo bem X1 no intervalo de variação dos preços. Mas como a preferência é quase-linear, a demanda hicksiana é igual à marshalliana. Como p2 não muda, podemos aplicar seu valor direto na demanda. Agora é só integrar esta função de 2,5 a 5:
 = 32 "\int_{5/2}^{5}X_{1}^{*} \ dp_{1} = \int_{5/2}^{5}\frac{320}{2p_{1}^{2}}dp_{1} = \left.-\frac{160}{p_{1}}\right|_{5/2}^{5} = -\frac{160}{5}-\left(\frac{160}{5/2} \right ) = 32")
Essa é uma questão extremamente irritante. Gastei horas e horas pra chegar numa resposta que era muito óbvia.
O segredo aqui é perceber que se trata de uma utilidade quase-linear e que, portanto, a variação do bem-estar é igual à variação compensatória e à variação equivalente. Aí fica simples.
Primeiro achamos a demanda marshalliana:
Agora é que tem a sacada. A variação compensatória é a integral da demanda hicksiana pelo bem X1 no intervalo de variação dos preços. Mas como a preferência é quase-linear, a demanda hicksiana é igual à marshalliana. Como p2 não muda, podemos aplicar seu valor direto na demanda. Agora é só integrar esta função de 2,5 a 5:
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