ANPEC 2008 - Q9

por temujin Sex Abr 12, 2013 10:41 am

Para cada subconjunto $\small A \subset \mathbb{R}$ a função característica $\small \chi _A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é definida por $\small \chi_A(x)=1, \ se \ x \in A \ e \ \chi_A(x)=0 \ se \ x \notin A.$ . Sejam $\small f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funções definidas por $\small \left\{\begin{matrix} f(x)= h(x)\chi_Q(x)\\ g(x)=h(x)\chi_{R-Q}(x) \end{matrix}\right.$ , em que $\small Q \subset \mathbb{R}$ é o conjunto dos números racionais e $\small h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é a função definida por h(x) = x². Julgue as afirmativas:

(0) f não é diferenciável em x = 0.

F. Em x = 0, a derivada de f existe e é contínua:

$\small \lim_{x \to 0} \frac{h(x)\chi_Q(x)-h(0)\chi_Q(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\chi_Q(x)-0^2.1}{x}=\lim_{x \to 0} x \chi_Q(x)=0$

(1) g não é contínua em x = 0.

F. O limite existe e é igual ao valor de g no ponto x = 0:

$\small \\ \lim_{x \to 0} h(x)\chi_{R-Q}(x)=\lim_{x \to 0} x^2 \chi_{R-Q}(x)=0\\ \\ g(0)=0$

(2) f+g é diferenciável em R.

V. A derivada existe e é contínua:

$\small \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=h(x)[\chi_Q(x)+\chi_{R-Q}(x)]=h(x)=x^2\\ \\ (f+g)'(x)=2x$

(3) (fg)'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x), para todo x real.

F. f e g não são contínuas, portanto, não se aplica a regra do produto.

(4) $\small \int_0^1(f+g)=\frac{1}{3}$

V.

$\small \int_0^1(f+g)dx=\int_0^1 h(x)dx=\int_0^1 x^2dx=\left \frac{x^3}{3}\right |_0^1=\frac{1}{3}$