ANPEC 2008 - Q5

por temujin Sáb Abr 13, 2013 11:02 am

Seja $\small f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua e $\small F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int_0^x(1+t^2)f(t) \ dt$ . Julgue as afirmativas:

(0) F é derivável.

V.

F'(x) = (1+t²)f(t)

(1) F é uma primitiva da função f.

F.

F'(x) # f(x)

(2) Se F(x) = (1-x²).cos(x) + 2x.sen(x) - 1, então f(x) = cos(x).

F.

F'(x) = -2x.cos(x)+(1-x²)-sen(x)+2sen(x)+2x.cos(x) = sen(x)[2-(1-x²)] = sen(x)(1-x²)

(3) Se $\small F(x)=x+\frac{x^3}{3}$ , então f é uma função constante.

V.

F'(x) = 1+x²

(4) Se F(x) = (1-x²).cos(x)+2x.sen(x)-1, então $\small f(t)=sen(t) \Rightarrow \int_0^{\pi/2} t^2f(t) \ dt = \pi-1$ .

F. Pelo item (2), f(t) = sen(t). Logo,

$\small f(t)=sen(t) \Rightarrow \int_0^{\pi/2} t^2f(t) \ dt = \int_0^{\pi/2} t^2sen(t) \ dt$

Integrando por partes:

u = t², u' = 2t
v' = sen(t), v = -cos(t)

$\small \left [ -t^2.cos(t) \right ]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2} 2t.cos(t) \ dt$

Integrando por partes, novamente:

u = 2t , u'= 2
v' = cos(t), v = sen(t)

$\small \\ \left [ -t^2.cos(t) \right ]_0^{\pi/2}+\left [ 2t.sen(t) \right ]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}2sen(t) \ dt = \\ \\ \left [ -t^2.cos(t)+2t.sen(t)+2cos(t) \right ]_0^{\pi/2}= \pi-2$