ANPEC 1991 - Q13

por temujin Ter Ago 06, 2013 5:22 pm

O preço X de um produto é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:

$f(x) = \left\{\begin{matrix} kx^3, 1\leq x \leq 3\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

onde k é uma constante positiva. Pode-se afirmar que:

(0) O preço médio deste produto é aproximadamente 2,42.

V.

$\\ k\int_1^3 x^3 dx = k.\left [\frac{x^4}{4} \right ]_1^3 =1 \Rightarrow k\left [ \frac{81}{4}-\frac{1}{4} \right ]=1 \Rightarrow k=\frac{1}{20}\\ \\ E(X) = \frac{1}{20}\int_1^3x^4dx = \frac{1}{20}\left [ \frac{x^5}{5} \right ]_1^3 = \frac{242}{100} = 2,42$

(1) A probabilidade do preço ser menor que 1,5 e menor do que 70%.

V

$\\ \frac{1}{20}\int_1^{3/2}x^3dx = \frac{1}{20}\left [ \frac{x^4}{4} \right ]_1^{3/2} = \frac{1}{20}.\left [ \frac{81}{64}-\frac{1}{4} \right ] = \frac{1}{20}.\frac{63}{64}\approx \frac{1}{20}<0,7$

(2) A probabilidade do preço ser menor que 1,2 é maior do que 0,5%.

V

$\\ \frac{1}{20}\int_1^{1,2}x^3dx = \frac{1}{20}\left [ \frac{x^4}{4} \right ]_1^{1,2} \approx \frac{1}{20}.\frac{1,07}{4} \approx \frac{1,07}{80}<0,5$

(3) O valor de k é 1/80.

F. Item 0. k=1/20

(4) A variância do preço deste produto é 9,1.

F.

$\\ E(X^2) = \frac{1}{20}\int_1^3 x^5 dx = \left [\frac{x^6}{6} \right ]_1^3 = \frac{1}{20}.\frac{728}{6}=\frac{121}{20}=6,05 \\ \\ Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 6,05-2,42^2 = 0,19$