ANPEC 2010 - Q2

por temujin Qua Mar 27, 2013 2:16 am

Considere a função de utilidade $\small u(x,y)= -\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ , em que x denota a quantidade do bem 1 e y a quantidade do bem 2. Seja p_x o preço do bem 1, p_y o preço do bem 2 e R a renda do consumidor.

(0) A demanda pelo bem 2 é $\small y(p_x,p_y,R)=\frac{R}{p_y+\sqrt{p_xp_y}}$ .

V.

$\small \\ TMS: \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{y^2}}=\frac{p_x}{p_y} \Rightarrow y^2=\frac{p_x.x^2}{p_y} \Rightarrow y=\sqrt{\frac{p_x}{p_y}}.x \\ \\ R=p_x.x+p_y.\left [ \frac{p_x^{0,5}.x }{p_y^{0,5}}\right ] \Rightarrow R=x\left [ p_x+p_x^{0,5}.p_y^{0,5} \right ] \\ x^*=\frac{R}{p_x+\sqrt{p_x.p_y}} \ \ \ ; \ \ \ y^*=\frac{R}{p_y+\sqrt{p_x.p_y}}$

(1) A utilidade indireta é dada por $\small V(p_x,p_y,R)=-\frac{p_x+p_y+2\sqrt{p_xp_y}}{2R}$

F. A utilidade indireta é dada pela aplicação das qtdes ótimas na função utilidade. Assim,

$\small \\ V(x^*,y^*,R)=-\frac{1}{x^*}-\frac{1}{y^*}=-\left ( \frac{p_x+\sqrt{p_xp_y}}{R} + \frac{p_y+\sqrt{p_xp_y}}{R} \right )=\\ =-\frac{p_x+p_y+2\sqrt{p_xp_y}}{R}$

(2) A função dispêndio tem a forma de Elasticidade de Substituição Constante.

V. A função utilidade é de fato uma CES.

(3) A função de demanda hicksiana (compensada) pelo bem 1 é $\small \\ h_x(p_X,p_y,u_0)=-\frac{\sqrt{p_x}+\sqrt{p_y}}{\sqrt{p_y}}u_0$ .

F. Pelo Lema de Shephard, a demanda hicksiana é dada pela derivada da função dispêndio em relação à p_x:

$\small \\ x^c=\frac{\partial E}{\partial p_x}=-\left [ 1+ \sqrt{\frac{p_y}{px}} \right ].\frac{1}{u_0}=-\frac{\sqrt{p_x}+\sqrt{p_y}}{\sqrt{p_x}}.\frac{1}{u_0}$

(4) Para esta função de utilidade, a equação de Slutsky não vale.

F. É uma CES. Vale sempre.