ANPEC 2008 - Q1

por temujin Qua Abr 10, 2013 11:21 am

Sejam $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}, b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a função dada por $f(x)=x^3+3x-4$ . Julgue as afirmativas:

(0) f não é uma função injetora.

F. f'(x) = 3x²+3 > 0, para qualquer valor de x.

(1) $\small ab=1, b^3-a^3=4 \ e \ f(a-b) \neq 0$

F.

$\small \\ ab=(\sqrt{5}+2)^{1/3}(\sqrt{5}-2)^{1/3}=[(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)]^{1/3}=(5-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-4)^{1/3}=1 \\ \\ b^3-a^3=(\sqrt{5-2})-(\sqrt{5}+2)=-4$

(2) f(a-b)=a³-3a²b+3ab²+3(a-b)-4=0

V. Sabemos que ab=1 e b³-a³=-4. Agora, a primeira igualdade é satisfeita, pois:
f(a-b) = (a-b)³+3(a-b)-4. E expandindo este termo, temos que f(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³+3a-3b-4

Rearranjando os termos e substituindo os valores de ab, a³ e b³:

f(a-b)=-(b³-a³)-3a.ab+3ab.b+3a-3b-4 = 4-3a+3b+3a-3b-4 = 0

(3) f é uma função injetora e a-b=1

V. Pelo item (0) sabemos que f é injetora. Podemos então testar valores para saber se a-b=1. f(a-b)=f(1)=1³+3.1-4 = 0.

(4) f é convexa no intervalo I = [-2;2].

F. f'(x)=3x²+3, f''(x) = 6x. Para x < 0, f é côncava.