ANPEC 2013 - Q9

Obs: Esta questão é o exemplo 21.1 do livro do Nicholson.

Um pai deseja realizar uma divisão justa de uma pizza com 8 pedaços idênticos entre seus dois filhos. O filho mais novo (1) tem uma função de utilidade por pizza definida por U₁ = 2x₁^1/2, e o outro filho (2) tem uma função preferência por pizza levemente diferente, dada por U₂ = x₂^1/2, em que x_i(i=1,2) representa a quantidade de pedaços de pizza para o filho 1 e 2, respectivamente. Podemos sustentar que:

(0) Um pai utilitarista escolheria dividir a pizza da seguinte forma: x₁ = 1,6 e x₂ = 6,4.
F. O pai utilitarista maximiza a soma das utilidades de ambos os filhos. Max_(x1,x2)U(x₁)+U(x₂), s.a. x1+x2=8
O lagrangeano fica: L = 2x₁^1/2 + x₂^1/2 + g(8 - x₁ - x₂)
dL/dx₁: 1/x₁^1/2 = g
dL/dx₂: 1/2x₂^1/2 = g
dL/dg: x₁+x₂ = 8
(dL/dx₁)/(dL/dx₂): 2x₂^1/2/x₁^1/2 = 1 -> (x₂/x₁)^1/2 = 1/2 -> x₂/x₁ = 1/4 -> x2=(1/4)x₁
Substituindo na restrição, temos: x₁+(1/4)x1 = 8 -> (5/4)x₁ = 8 -> x₁^* = 32/5 = 6,4 e 6,4+x₂ = 8 -> x₂^* = 1,6


(1) Um pai que segue os critérios de justiça de John Rawls usaria uma espécie de "véu da ignorância", no qual os filhos optariam por uma escolha de pedaços de pizza que maximizasse o valor esperado de suas utilidades.
V. O pai permitiria que os filhos escolhessem a alocação (4 ; 4) ou (1,6 ; 6,4), mas eles não sabem quem ficaria com a quantidade menor no segundo caso. Assim, cada filho maximizaria o valor esperado de sua utilidade, supondo que cada um tem 50% de chance de ficar com a qtde maior:
a) x1 = x2 = 4 ; E(U) = (2.4^1/2)/2 + 4^1/2/2 = 3
b) x1 = 1,6 e x2 = 6,4 ; E(U) = (2.1,6^1/2)/2 + 6,4^1/2/2 = 2,53/2 + 2,53/2 = 2,53
c) x1 = 6,4 e x2 = 1,6 ; E(U) = (2.6,4^1/2)/2 + 1,6^1/2/2 = 5,06/2 + 1,26/2 = 3,16

(2) Um pai igualitário e benevolente distribuiria os pedaços de pizza de tal forma que cada filho obtivesse x₁ = x₂.
F. Se x₁ = x₂ = 4, U(x₁) = 4 e U(x₂) = 2. Logo, não seria igualitário.

(3) Uma alocação eficiente dos pedaços de pizza seria aquela que iguala a TMS dos dois filhos.
V. É a definição de alocação eficiente. Se A TMS fosse diferente, os filhos poderiam realizar uma troca e obter uma melhoria de Pareto.

(4) Os dois filhos são avessos ao risco.
V. Ambas as utilidades são funções côncavas.