ANPEC 2009 - Q2

por temujin Qui Abr 11, 2013 10:59 pm

Considere as funções $\small \\ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ onde \ f(x)=\left\{\begin{matrix} ax^2+1, \ se \ x<0\\ 1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ se \ x \geq 0 \end{matrix}\right. \\ \\ g(x)=xe^x$ . Julgue as afirmativas:

(0) f é contínua em 0, para todo $\small a \in \mathbb{R}$ .

V.

$\small \lim_{x \to 0+} 1=1 \ ; \ \lim_{x \to 0^-} ax^2+1=1 \ ; \ f(0)=1$

(1) Se $\small a \neq 0$ , então f não é derivável em 0.

F.
f'(x) = 2ax, f'(0) = 0.

(2) g é crescente em $\small (-1;\infty)$ e possui um máximo local em x = -1.

F.
g'(x) = e^x+xe^x
g''(x) = e^x+e^x+xe^x=e^x(2+x)

$\small \\ \lim_{x \to -1}e^x+xe^x = \frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0 \\ \\ g''(-1)=\frac{1}{e}$

(3) g é uma função convexa.

F. Depende do valor de x.

(4) g''(x) > g'(x), para todo $\small x \in \mathbb{R}$ .

V.

g'(x) = e^x(1+x)
g''(x) = e^x(2+x)