ANPEC 2011 - Q7

por temujin Qua Ago 07, 2013 11:55 am

Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y dada por

$f_{XY}(x,y)=\left\{\begin{matrix} kx^2y, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq y\\ 0, \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

Ⓞ Para que satisfaça as propriedades de uma função de densidade conjunta, k=6.

V.

$\\ k\int_0^1\int_0^1x^2y \ dydx = 1 \Rightarrow k\int_0^1x^2\left [ \frac{y^2}{2} \right ]_0^1 = 1 \Rightarrow \frac{k}{2}\int_0^1x^2 dx = 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow\frac{k}{2}\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_0^1 = 1 \Rightarrow \frac{k}{6}=1 \Rightarrow k=6$

① A densidade marginal de Y é dada por f_Y(y)=3y².

F. Achamos a marginal de Y integrando a conjunto em X:

$f_Y(y)=\int_0^1 f(x,y) dx = \int_0^1 6x^2y dx = 6y\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_0^1 = 2y$

② A densidade de Y, condicional em X=2, é igual a f_Y|X(y|X=2)=2y .

V. A condicional é dada pela conjunta dividida pela marginal de X:

$\\ f_X(x)=\int_0^1 f(x,y) dy = \int_0^1 6x^2y dy = 6x^2\left [ \frac{y^2}{2} \right ]_0^1 = 3x^2 \\ \\ f_{Y|X}(y|X=2) = \frac{f(X,Y)}{f_X(x)} = \frac{6x^2y}{3x^2} = 2y$

③ X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas.

V. X e Y são não correlacionadas se, e somente se, as distribuições marginais são iguais às condicionais. No item 2, vemos que a marginal de Y é igual à sua condicional. Fazendo o mesmo para X:

$f_{X|Y}(X|y) = \frac{f(X,Y)}{f_Y(y)} = \frac{6x^2y}{2y} = 3x^2 = f_X(x)$

④ A variância de Y, condicional em X=2, é igual a 1/9.

F.

$\\ Var(Y|X=2) = E(Y^2|X=2) - [E(Y|X=2)]^2 \\ \\ E(Y^2|X=2) = \int_0^1y^2f_{Y|X}(y|X=2)dy = \int_0^1 2y^3 \ dy = \left [\frac{2y^4}{4} \right ]_0^1 = \frac{1}{2} \\ \\ E(Y|X=2) = \int_0^1 yf_{Y|X}(y|X=2)dy = \int_0^1 2y^2 \ dy = \left [\frac{2y^3}{3} \right ]_0^1 = \frac{2}{3} \\ \\ Var(Y|X=2) = \frac{1}{2}-\frac{4}{9} = \frac{1}{18}$