ANPEC 2008 - Q12

por temujin Qua Ago 07, 2013 3:03 pm

Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade:

$f_{XY}(x,y)=\left\{\begin{matrix} 24xy,\ \ \ 0<x<1 \ e \ 0<y<1-x\\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , \ caso \ contrario \end{matrix}\right.$

Calcule P(0 < Y < ¼ | X = 1/2). Multiplique o resultado por 100 e despreze as decimais.

$\\ f_X(x) = \int_0^{1-x}24xy \ dy = 24x\left [ \frac{y^2}{2} \right ]_0^{1-x} = 12x(1-x)^2 \\ \\ f_{Y|X} = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\not{24}\not{x}y}{\not{12}\not{x}(1-x)^2} = \frac{2y}{(1-x)^2} \\ \\ x=\frac{1}{2} \Rightarrow f_{Y|X}(y|x=1/2) = \frac{2y}{1/4} = 8y \\ \\ P(0<Y<1/4|X=1/2)=\int_0^{1/4} 8ydy = 8\left [ \frac{y^2}{2} \right ]_0^{1/4} = \frac{1}{4}.100 = 25$