ANPEC 2011 - Q1

por temujin Ter Abr 09, 2013 10:34 am

(0) Se $\small \inline \\ A=\left \{ x \in \mathbb{R}: 3x^2+4x<4 \right \} \ e \ B=\left \{ x \in \mathbb{R}:2(x^2+1) \geq5x \right \}, \\ entao \ A \cap B \subset \left \{ x \in \mathbb{R}: x^2<4 \right \}$ .

V. O conjunto A é dado por:

$\small \inline \\ 3x^2+4x-4<0 \\ \\ Soma: -\frac{4}{3}, \ Produto: -\frac{4}{3}\\ \\ x'= -2 \ \ ; \ \ x''=\frac{2}{3}\\ \\ A=\left $-2, \frac{2}{3} \right $$

O conjunto B:
$\small \inline \\ 2x^2-5x+2 \geq 0 \\ \\ Soma: \frac{5}{2}, \ Produto: 1\\ \\ x'= 2 \ \ ; \ \ x''=\frac{1}{2}\\ \\ B=\left \(-\infty;\frac{1}{2}\right \] \cup \left \[2,\infty \right)$

Logo,

$\small \inline A \cap B=\left(-2,\frac{1}{2} \right ] \subset [-2,2]$

(1) Se $A \subset B$ são conjuntos finitos não vazios e $f:A \rightarrow B$ é sobrejetora, então A=B.

V.

$A \subset B \ ; \ Im_f=B \therefore A \subset Im_f$

(2) Seja $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua, tal que $\small \inline (2x-\pi)h(x)=1- sen \ x, \forall x \in \mathbb{R}$ .

F.

$\small \\ h(x)=\frac{1-sen \ x}{2x-\pi}\\$

Aplicando L'Hospital:

$\small \\ \lim_{x \to \pi/2}\frac{1-sen \ x}{2x-\pi}=\frac{-cos \ x}{2}=0$ .

(3) Seja $\small f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\small f(x)=|5-x|+|x-3|$ . A função f não é sobrejetiva e $\small f(x) \geq 2, \forall x \in \mathbb{R}$ .

V.

Analisando os 3 casos:

i) x<3:

f(x) = 5-x+3-x = 8-2x

ii) 3< x <5:

f(x) = 5-x+x-3 = 2

i) x>5:

f(x) = x-5+x-3 = 2x-8

(4) Sejam $\small f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dadas por $\small f(x)=|x+3|-3 \ e \ g(x)=\frac{x}{2}$ . A função composta $\small f \circ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é sobrejetiva.

F.

$\small f \circ g: = \left | \frac{x}{2}+3 \right |-3$

Logo, f(x) não percorre todo o contradomínio (o mínimo é -3).