ANPEC 2001 - Q10

por temujin Qui Jun 27, 2013 3:35 pm

Considere uma economia de trocas com dois agentes, A e B, e dois bens, x e y. O agente A possui 2 unidades do bem x e 6 do bem y, enquanto o agente B possui 8 unidades do bem x e 4 do bem y. A função de utilidade do agente A é U(x, y) = 6x^1/2 + y e a do agente B é V(x, y) = x + 2y^1/2. Considere ainda a função de bem-estar social dada por W(V, U) = V + U.

Ⓞ No máximo de bem-estar social, o agente 1 recebe 1 unidade do bem x e 9 unidades do bem y.

F. Maximizando a função de bem-estar social:

$\\ Max \ W=V+U \\ s.a. \ X_A+X_B=10, Y_A+Y_B=10$

$\\ L = 6x_A^{1/2}+y_A+x_B+2y_B^{1/2}+\lambda(10-x_A-x_B)+\gamma(10-y_A-y_B) \\ \\ \\ \frac{\partial L}{\partial x_A} :\frac{3}{x_A^{1/2}}=\lambda \ \ \ \ ; \ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial x_B}:1=\lambda \ \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial L}{\partial y_A}:1=\gamma\ \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial L}{\partial x_B}:\frac{1}{y_B}=\gamma$

$\\ x_A = 9 \\ x_A+x_B = 10 \Rightarrow x_B=1 \\ y_B = 1 \\ y_A+y_B = 10 \Rightarrow y_A = 9$

Logo, A=(9,1) e B=(1,9)

① Os dois agentes preferem a alocação que corresponde ao máximo de bem-estar social à alocação inicial.

F. Basta substituir as alocações na função utilidade de cada agente:

$\\ U_A(2,6)=6\sqrt{2}+6 = 6(\sqrt{2}+1) \approx 14,5 \\ U_A(9,1)=6\sqrt{9}+1 = 19 \\ \\ U_B(8,4)=8+2\sqrt{4}=12 \\ U_B(1,9)=1+\sqrt{9}=4$

Portanto, B prefere a alocação inicial.

② O máximo de bem-estar social é uma alocação eficiente de Pareto.

F. O gabarito diz que é V...Mas se fosse Pareto-eficiente, deveríamos ter TMS_A = TMS_B no ponto:

$TMS_A(9,1)=\frac{UM_gx}{UM_gy}=\frac{3}{\sqrt{9}}=1 \ \ \ \neq \ \ \ TMS_B(1,9)=\frac{UM_gx}{UM_gy}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{9}}}=3$

③ O máximo de bem-estar social é uma alocação igualitária.

F. Como visto no item (1), as utilidades de cada indivíduo são diferentes no máximo de bem-estar.

④ O máximo de bem-estar social é uma alocação justa.

F. Para ser justa, a alocação deve ser equitativa e eficiente. Ela não é equitativa, pois o agente B tem maior utilidade com a cesta de A:

$U_B(9,1)=9+2\sqrt{1}=11 > U_B(1,9)=4$